{"id":373,"date":"2026-03-19T11:56:49","date_gmt":"2026-03-19T11:56:49","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=373"},"modified":"2026-03-19T11:56:50","modified_gmt":"2026-03-19T11:56:50","slug":"chapitre-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=373","title":{"rendered":"Chapitre 2"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 2<\/h1>\n  <h2>Variables al\u00e9atoires r\u00e9elles (discr\u00e8tes)<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Mod\u00e9liser une exp\u00e9rience al\u00e9atoire par une <strong>variable al\u00e9atoire r\u00e9elle discr\u00e8te<\/strong>.<\/li>\n    <li>Construire et exploiter la <strong>loi de probabilit\u00e9<\/strong> associ\u00e9e.<\/li>\n    <li>Calculer <strong>esp\u00e9rance<\/strong>, <strong>variance<\/strong> et <strong>\u00e9cart type<\/strong>.<\/li>\n    <li>Utiliser ces notions dans des probl\u00e8mes concrets (jeux, statistiques, mod\u00e9lisations simples).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 Variable al\u00e9atoire discr\u00e8te<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une exp\u00e9rience al\u00e9atoire dont l\u2019univers est fini (ou d\u00e9nombrable) :\n    lancer de d\u00e9s, tirage dans une urne, questionnaire, etc.\n  <\/p>\n  <p>\n    Une <strong>variable al\u00e9atoire r\u00e9elle discr\u00e8te<\/strong> est une application\n    qui associe \u00e0 chaque issue de l\u2019exp\u00e9rience un nombre r\u00e9el.\n  <\/p>\n  <p>\n    On la note g\u00e9n\u00e9ralement <strong>X<\/strong>. Les valeurs possibles de X sont\n    not\u00e9es <strong>x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>, \u2026, x<sub>n<\/sub><\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.2 Loi de probabilit\u00e9 d\u2019une variable al\u00e9atoire<\/h4>\n  <p>\n    \u00c0 chaque valeur possible <strong>x<sub>i<\/sub><\/strong> de X est associ\u00e9e la probabilit\u00e9\n    <strong>P(X = x<sub>i<\/sub>)<\/strong>.\n  <\/p>\n  <p>\n    La <strong>loi de probabilit\u00e9<\/strong> de X peut \u00eatre pr\u00e9sent\u00e9e dans un tableau&nbsp;:\n  <\/p>\n\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>Valeurs de X<\/th>\n        <th>x<sub>1<\/sub><\/th>\n        <th>x<sub>2<\/sub><\/th>\n        <th>\u2026<\/th>\n        <th>x<sub>n<\/sub><\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>Probabilit\u00e9s<\/td>\n        <td>P(X = x<sub>1<\/sub>)<\/td>\n        <td>P(X = x<sub>2<\/sub>)<\/td>\n        <td>\u2026<\/td>\n        <td>P(X = x<sub>n<\/sub>)<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n\n  <p>\n    Une loi de probabilit\u00e9 v\u00e9rifie toujours :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>P(X = x<sub>i<\/sub>) &ge; 0 pour tout i ;<\/li>\n    <li>P(X = x<sub>1<\/sub>) + P(X = x<sub>2<\/sub>) + \u2026 + P(X = x<sub>n<\/sub>) = 1.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.3 Esp\u00e9rance d\u2019une variable al\u00e9atoire<\/h4>\n  <p>\n    L\u2019<strong>esp\u00e9rance<\/strong> de X, not\u00e9e E(X), est la moyenne pond\u00e9r\u00e9e de ses valeurs\n    par leurs probabilit\u00e9s :\n  <\/p>\n  <p>\n    E(X) = x<sub>1<\/sub>P(X = x<sub>1<\/sub>) + x<sub>2<\/sub>P(X = x<sub>2<\/sub>) + \u2026 + x<sub>n<\/sub>P(X = x<sub>n<\/sub>).\n  <\/p>\n  <p>\n    Interpr\u00e9tation : c\u2019est la <strong>valeur moyenne attendue<\/strong> sur un tr\u00e8s grand nombre de r\u00e9p\u00e9titions\n    de l\u2019exp\u00e9rience (gain moyen, score moyen, etc.).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 Variance et \u00e9cart type<\/h4>\n  <p>\n    La <strong>variance<\/strong> de X, not\u00e9e V(X), mesure la dispersion des valeurs autour de l\u2019esp\u00e9rance.\n  <\/p>\n  <p>\n    On a la formule :\n  <\/p>\n  <p>\n    V(X) = E(X<sup>2<\/sup>) \u2212 (E(X))<sup>2<\/sup>,\n  <\/p>\n  <p>\n    o\u00f9 E(X<sup>2<\/sup>) = x<sub>1<\/sub><sup>2<\/sup>P(X = x<sub>1<\/sub>) + \u2026 + x<sub>n<\/sub><sup>2<\/sup>P(X = x<sub>n<\/sub>).\n  <\/p>\n  <p>\n    L\u2019<strong>\u00e9cart type<\/strong> de X, not\u00e9 \u03c3(X), est la racine carr\u00e9e de la variance :\n    \u03c3(X) = \u221aV(X).\n  <\/p>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s (progressifs)<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Lecture d\u2019une loi simple<\/h4>\n  <p>\n    On lance un d\u00e9 \u00e9quilibr\u00e9 \u00e0 6 faces. On note X le num\u00e9ro obtenu.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Donner la loi de probabilit\u00e9 de X.<\/li>\n    <li>Calculer E(X).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 toutes \u00e9quiprobables, donc :\n  <\/p>\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>X<\/th>\n        <th>1<\/th>\n        <th>2<\/th>\n        <th>3<\/th>\n        <th>4<\/th>\n        <th>5<\/th>\n        <th>6<\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>P(X = x)<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n        <td>1\/6<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n  <p>\n    2. E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \u00d7 (1\/6) = 21 \u00d7 (1\/6) = 3,5.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Loi \u00e0 compl\u00e9ter<\/h4>\n  <p>\n    Une variable al\u00e9atoire X prend les valeurs 0, 1, 2, 3.\n  <\/p>\n  <p>\n    On sait que P(X = 0) = 0,1 ; P(X = 1) = 0,2 ; P(X = 2) = 0,4 ; P(X = 3) = p.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>D\u00e9terminer p.<\/li>\n    <li>Calculer E(X).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. La somme des probabilit\u00e9s vaut 1 :\n  <\/p>\n  <p>\n    0,1 + 0,2 + 0,4 + p = 1 \u21d2 0,7 + p = 1 \u21d2 p = 0,3.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. E(X) = 0 \u00d7 0,1 + 1 \u00d7 0,2 + 2 \u00d7 0,4 + 3 \u00d7 0,3 = 0 + 0,2 + 0,8 + 0,9 = 1,9.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Jeu avec gain<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re le jeu suivant : on lance une pi\u00e8ce \u00e9quilibr\u00e9e.\n    <br>Si on obtient pile, le joueur gagne 3 \u20ac ; si on obtient face, il perd 1 \u20ac (on note ce gain n\u00e9gatif).\n    <br>On note X le gain alg\u00e9brique du joueur pour une partie.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Donner la loi de probabilit\u00e9 de X.<\/li>\n    <li>Calculer l\u2019esp\u00e9rance E(X).<\/li>\n    <li>Le jeu est-il favorable au joueur ?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    X prend les valeurs 3 (pile) ou \u22121 (face), avec P(pile) = P(face) = 1\/2.\n  <\/p>\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>X<\/th>\n        <th>\u22121<\/th>\n        <th>3<\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>P(X = x)<\/td>\n        <td>1\/2<\/td>\n        <td>1\/2<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n  <p>\n    E(X) = (\u22121) \u00d7 1\/2 + 3 \u00d7 1\/2 = (\u22120,5) + 1,5 = 1.\n  <\/p>\n  <p>\n    L\u2019esp\u00e9rance est positive (1 \u20ac), le jeu est donc globalement <strong>favorable<\/strong> au joueur.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Variance et \u00e9cart type<\/h4>\n  <p>\n    Une variable al\u00e9atoire X a pour loi :\n  <\/p>\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>X<\/th>\n        <th>0<\/th>\n        <th>1<\/th>\n        <th>2<\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>P(X = x)<\/td>\n        <td>0,2<\/td>\n        <td>0,5<\/td>\n        <td>0,3<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n  <ol>\n    <li>Calculer E(X).<\/li>\n    <li>Calculer E(X<sup>2<\/sup>).<\/li>\n    <li>En d\u00e9duire V(X) et \u03c3(X).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. E(X) = 0 \u00d7 0,2 + 1 \u00d7 0,5 + 2 \u00d7 0,3 = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. E(X<sup>2<\/sup>) = 0<sup>2<\/sup> \u00d7 0,2 + 1<sup>2<\/sup> \u00d7 0,5 + 2<sup>2<\/sup> \u00d7 0,3\n    = 0 + 0,5 + 4 \u00d7 0,3 = 0,5 + 1,2 = 1,7.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. V(X) = E(X<sup>2<\/sup>) \u2212 (E(X))<sup>2<\/sup> = 1,7 \u2212 (1,1)<sup>2<\/sup> = 1,7 \u2212 1,21 = 0,49.\n    <br>\u03c3(X) = \u221a0,49 = 0,7.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Mod\u00e9lisation m\u00e9dicale (niveau avanc\u00e9)<\/h4>\n  <p>\n    Dans un service, on mod\u00e9lise le nombre X de patients admis pour un certain type d\u2019urgence\n    pendant une nuit par la loi suivante :\n  <\/p>\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>X<\/th>\n        <th>0<\/th>\n        <th>1<\/th>\n        <th>2<\/th>\n        <th>3<\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>P(X = x)<\/td>\n        <td>0,1<\/td>\n        <td>0,4<\/td>\n        <td>0,3<\/td>\n        <td>0,2<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n  <ol>\n    <li>V\u00e9rifier qu\u2019il s\u2019agit bien d\u2019une loi de probabilit\u00e9.<\/li>\n    <li>Calculer E(X) et interpr\u00e9ter le r\u00e9sultat.<\/li>\n    <li>Calculer l\u2019\u00e9cart type \u03c3(X) (au centi\u00e8me pr\u00e8s).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. Somme des probabilit\u00e9s :\n    0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1. C\u2019est bien une loi de probabilit\u00e9.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. E(X) = 0 \u00d7 0,1 + 1 \u00d7 0,4 + 2 \u00d7 0,3 + 3 \u00d7 0,2\n    = 0 + 0,4 + 0,6 + 0,6 = 1,6.\n  <\/p>\n  <p>\n    En moyenne, on peut s\u2019attendre \u00e0 environ 1,6 patient par nuit pour ce type d\u2019urgence.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. E(X<sup>2<\/sup>) = 0<sup>2<\/sup> \u00d7 0,1 + 1<sup>2<\/sup> \u00d7 0,4\n    + 2<sup>2<\/sup> \u00d7 0,3 + 3<sup>2<\/sup> \u00d7 0,2\n    = 0 + 0,4 + 4 \u00d7 0,3 + 9 \u00d7 0,2\n    = 0,4 + 1,2 + 1,8 = 3,4.\n  <\/p>\n  <p>\n    V(X) = 3,4 \u2212 (1,6)<sup>2<\/sup> = 3,4 \u2212 2,56 = 0,84.\n    <br>\u03c3(X) \u2248 \u221a0,84 \u2248 0,92 (au centi\u00e8me pr\u00e8s).\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 2 Variables al\u00e9atoires r\u00e9elles (discr\u00e8tes) 1. Objectifs du chapitre Mod\u00e9liser une exp\u00e9rience al\u00e9atoire par une variable al\u00e9atoire r\u00e9elle discr\u00e8te. Construire et exploiter la loi de probabilit\u00e9 associ\u00e9e. Calculer esp\u00e9rance, variance et \u00e9cart type. Utiliser ces notions dans des probl\u00e8mes concrets (jeux, statistiques, mod\u00e9lisations simples). 2. Cours 2.1 Variable al\u00e9atoire discr\u00e8te &#8230; <a title=\"Chapitre 2\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=373\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre 2\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-373","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/373","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=373"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/373\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":374,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/373\/revisions\/374"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=373"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=373"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=373"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}