{"id":375,"date":"2026-03-19T11:59:36","date_gmt":"2026-03-19T11:59:36","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=375"},"modified":"2026-03-19T11:59:37","modified_gmt":"2026-03-19T11:59:37","slug":"chapitre-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=375","title":{"rendered":"Chapitre 1"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 1<\/h1>\n  <h2>Probabilit\u00e9s conditionnelles et ind\u00e9pendance<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Introduire et manipuler la <strong>probabilit\u00e9 conditionnelle<\/strong> P(B|A).<\/li>\n    <li>Utiliser des <strong>arbres pond\u00e9r\u00e9s<\/strong> et des <strong>tableaux<\/strong> de probabilit\u00e9s.<\/li>\n    <li>Appliquer la <strong>formule des probabilit\u00e9s totales<\/strong> et la <strong>formule de Bayes<\/strong> dans des cas simples.<\/li>\n    <li>D\u00e9finir et tester l\u2019<strong>ind\u00e9pendance<\/strong> de deux \u00e9v\u00e9nements.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 Rappel : probabilit\u00e9 sur un univers fini<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une exp\u00e9rience al\u00e9atoire avec un univers fini &Omega; et des \u00e9v\u00e9nements A, B &sube; &Omega;.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>P(&Omega;) = 1 ; pour tout \u00e9v\u00e9nement A, 0 &le; P(A) &le; 1.<\/li>\n    <li>P(A &cup; B) = P(A) + P(B) \u2212 P(A &cap; B).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.2 Probabilit\u00e9 conditionnelle<\/h4>\n  <p>\n    Soit A un \u00e9v\u00e9nement avec P(A) &ne; 0. La <strong>probabilit\u00e9 de B sachant A<\/strong>,\n    not\u00e9e P(B|A) ou P<sub>A<\/sub>(B), est d\u00e9finie par :\n  <\/p>\n  <p>\n    P(B|A) = P(A &cap; B) \/ P(A).\n  <\/p>\n  <p>\n    On a alors la <strong>formule du produit<\/strong> :\n  <\/p>\n  <p>\n    P(A &cap; B) = P(A) &times; P(B|A).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.3 Arbres pond\u00e9r\u00e9s et probabilit\u00e9s totales<\/h4>\n  <p>\n    Pour une exp\u00e9rience en plusieurs \u00e9tapes, on utilise un <strong>arbre pond\u00e9r\u00e9<\/strong> :\n    chaque branche porte une probabilit\u00e9 (souvent conditionnelle).\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>La probabilit\u00e9 d\u2019un <strong>chemin<\/strong> complet est le produit des probabilit\u00e9s des branches qui le composent.<\/li>\n    <li>Pour un \u00e9v\u00e9nement B, on additionne les probabilit\u00e9s de tous les chemins menant \u00e0 B.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Si (A<sub>1<\/sub>, A<sub>2<\/sub>, \u2026, A<sub>n<\/sub>) est une <strong>partition<\/strong> de &Omega; (syst\u00e8me complet d\u2019\u00e9v\u00e9nements),\n    alors pour tout \u00e9v\u00e9nement B :\n  <\/p>\n  <p>\n    P(B) = P(A<sub>1<\/sub>)P(B|A<sub>1<\/sub>) + P(A<sub>2<\/sub>)P(B|A<sub>2<\/sub>) + \u2026 + P(A<sub>n<\/sub>)P(B|A<sub>n<\/sub>).\n  <\/p>\n  <p>\n    C\u2019est la <strong>formule des probabilit\u00e9s totales<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 Probabilit\u00e9 conditionnelle \u00ab dans l\u2019autre sens \u00bb (id\u00e9e de Bayes)<\/h4>\n  <p>\n    Dans le cas d\u2019une partition (A<sub>1<\/sub>, \u2026, A<sub>n<\/sub>) et d\u2019un \u00e9v\u00e9nement B tel que P(B) &ne; 0, on peut calculer\n    la probabilit\u00e9 P(A<sub>k<\/sub>|B) \u00e0 l\u2019aide de :\n  <\/p>\n  <p>\n    P(A<sub>k<\/sub>|B) = [P(A<sub>k<\/sub>)P(B|A<sub>k<\/sub>)] \/ [P(A<sub>1<\/sub>)P(B|A<sub>1<\/sub>) + \u2026 + P(A<sub>n<\/sub>)P(B|A<sub>n<\/sub>)].\n  <\/p>\n  <p>\n    Cette formule est une forme simple de la <strong>formule de Bayes<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.5 Ind\u00e9pendance de deux \u00e9v\u00e9nements<\/h4>\n  <p>\n    Deux \u00e9v\u00e9nements A et B sont dits <strong>ind\u00e9pendants<\/strong> si :\n  <\/p>\n  <p>\n    P(A &cap; B) = P(A) &times; P(B).\n  <\/p>\n  <p>\n    Si P(A) &ne; 0 et P(B) &ne; 0, cela \u00e9quivaut \u00e0 :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>P(B|A) = P(B) ;<\/li>\n    <li>ou P(A|B) = P(A).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Tableau simple<\/h4>\n  <p>\n    Une classe compte 30 \u00e9l\u00e8ves : 18 filles et 12 gar\u00e7ons.\n    Parmi les filles, 10 pratiquent un sport en club. Parmi les gar\u00e7ons, 9 pratiquent un sport en club.\n    On choisit un \u00e9l\u00e8ve au hasard.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer la probabilit\u00e9 qu\u2019il pratique un sport en club.<\/li>\n    <li>On sait que l\u2019\u00e9l\u00e8ve pratique un sport en club. Quelle est la probabilit\u00e9 que ce soit une fille&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    On note F : \u00ab fille \u00bb, G : \u00ab gar\u00e7on \u00bb, S : \u00ab pratique un sport en club \u00bb.\n  <\/p>\n  <p>\n    Nombre de sportifs : 10 + 9 = 19 sur 30 \u00e9l\u00e8ves.\n    <br>P(S) = 19\/30.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(F) = 18\/30, P(F &cap; S) = 10\/30.\n    <br>P(F|S) = P(F &cap; S) \/ P(S) = (10\/30) \/ (19\/30) = 10\/19.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Arbre \u00e0 deux niveaux<\/h4>\n  <p>\n    Une urne U<sub>1<\/sub> contient 3 boules rouges et 2 boules bleues.\n    Une urne U<sub>2<\/sub> contient 1 boule rouge et 4 boules bleues.\n    On choisit d\u2019abord une urne au hasard, puis on tire une boule dans cette urne.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Construire un arbre de probabilit\u00e9.<\/li>\n    <li>Calculer la probabilit\u00e9 de tirer une boule rouge.<\/li>\n    <li>La boule tir\u00e9e est rouge. Quelle est la probabilit\u00e9 qu\u2019elle provienne de U<sub>1<\/sub>&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    On a P(U<sub>1<\/sub>) = P(U<sub>2<\/sub>) = 1\/2.\n    <br>P(R|U<sub>1<\/sub>) = 3\/5, P(B|U<sub>1<\/sub>) = 2\/5 ;\n    <br>P(R|U<sub>2<\/sub>) = 1\/5, P(B|U<sub>2<\/sub>) = 4\/5.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(R) = P(U<sub>1<\/sub> &cap; R) + P(U<sub>2<\/sub> &cap; R)\n    = (1\/2)&times;(3\/5) + (1\/2)&times;(1\/5)\n    = 3\/10 + 1\/10 = 4\/10 = 2\/5.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(U<sub>1<\/sub>|R) = P(U<sub>1<\/sub> &cap; R) \/ P(R)\n    = [(1\/2)&times;(3\/5)] \/ (2\/5)\n    = (3\/10) \/ (4\/10) = 3\/4.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Probabilit\u00e9s totales (test m\u00e9dical)<\/h4>\n  <p>\n    Dans une population, 20&nbsp;% des patients sont porteurs d\u2019une maladie M.\n    Un test T a une sensibilit\u00e9 de 95&nbsp;% : P(T+|M) = 0,95,\n    et une sp\u00e9cificit\u00e9 de 90&nbsp;% : P(T\u2212|&not;M) = 0,90.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer la probabilit\u00e9 qu\u2019un patient ait un test positif.<\/li>\n    <li>Un patient a un test positif. Quelle est la probabilit\u00e9 qu\u2019il soit r\u00e9ellement malade&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    On note M : \u00ab malade \u00bb, &not;M : \u00ab non malade \u00bb, T<sup>+<\/sup> : \u00ab test positif \u00bb, T<sup>\u2212<\/sup> : \u00ab test n\u00e9gatif \u00bb.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>P(M) = 0,20 ; P(&not;M) = 0,80.<\/li>\n    <li>P(T<sup>+<\/sup>|M) = 0,95 \u21d2 P(T<sup>\u2212<\/sup>|M) = 0,05.<\/li>\n    <li>P(T<sup>\u2212<\/sup>|&not;M) = 0,90 \u21d2 P(T<sup>+<\/sup>|&not;M) = 0,10.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    P(T<sup>+<\/sup>) = P(M)P(T<sup>+<\/sup>|M) + P(&not;M)P(T<sup>+<\/sup>|&not;M)\n    = 0,20\u00d70,95 + 0,80\u00d70,10\n    = 0,19 + 0,08 = 0,27.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(M|T<sup>+<\/sup>) = P(M &cap; T<sup>+<\/sup>) \/ P(T<sup>+<\/sup>)\n    = (0,20\u00d70,95) \/ 0,27\n    = 0,19 \/ 0,27 &amp;approx; 0,70.\n  <\/p>\n  <p>\n    Environ 70&nbsp;% des tests positifs correspondent \u00e0 de vrais malades.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Ind\u00e9pendance<\/h4>\n  <p>\n    On lance une pi\u00e8ce \u00e9quilibr\u00e9e deux fois. On note A l\u2019\u00e9v\u00e9nement\n    \u00ab obtenir au moins une fois pile \u00bb, B l\u2019\u00e9v\u00e9nement \u00ab obtenir pile au premier lancer \u00bb.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>D\u00e9crire l\u2019univers &Omega;.<\/li>\n    <li>Calculer P(A), P(B) et P(A &cap; B).<\/li>\n    <li>Les \u00e9v\u00e9nements A et B sont-ils ind\u00e9pendants&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. &Omega; = {PP, PF, FP, FF}.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. A : au moins un P \u21d2 {PP, PF, FP}, donc P(A) = 3\/4.\n    <br>B : pile au premier lancer \u21d2 {PP, PF}, donc P(B) = 2\/4 = 1\/2.\n    <br>A &cap; B = {PP, PF}, donc P(A &cap; B) = 2\/4 = 1\/2.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. P(A)P(B) = (3\/4)\u00d7(1\/2) = 3\/8 &ne; 1\/2 = P(A &cap; B).\n    <br>A et B ne sont donc pas ind\u00e9pendants.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Probl\u00e8me type bac<\/h4>\n  <p>\n    Un cabinet d\u2019imagerie re\u00e7oit 60&nbsp;% de patients externes (E) et 40&nbsp;% de patients hospitalis\u00e9s (H).\n    Parmi les externes, 15&nbsp;% ne se pr\u00e9sentent pas \u00e0 leur rendez-vous (\u00e9v\u00e9nement N).\n    Parmi les hospitalis\u00e9s, 2&nbsp;% ne se pr\u00e9sentent pas.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Repr\u00e9senter la situation par un arbre pond\u00e9r\u00e9.<\/li>\n    <li>Calculer la probabilit\u00e9 qu\u2019un patient ne se pr\u00e9sente pas.<\/li>\n    <li>Un patient ne s\u2019est pas pr\u00e9sent\u00e9. Quelle est la probabilit\u00e9 qu\u2019il soit un externe&nbsp;?<\/li>\n    <li>Les \u00e9v\u00e9nements \u00ab \u00eatre externe \u00bb et \u00ab ne pas se pr\u00e9senter \u00bb sont-ils ind\u00e9pendants&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    On a P(E) = 0,60, P(H) = 0,40.\n    <br>P(N|E) = 0,15 \u21d2 P(&not;N|E) = 0,85.\n    <br>P(N|H) = 0,02 \u21d2 P(&not;N|H) = 0,98.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(N) = P(E)P(N|E) + P(H)P(N|H)\n    = 0,60\u00d70,15 + 0,40\u00d70,02\n    = 0,09 + 0,008 = 0,098.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(E|N) = P(E &cap; N) \/ P(N)\n    = (0,60\u00d70,15) \/ 0,098\n    = 0,09 \/ 0,098 &amp;approx; 0,92.\n  <\/p>\n  <p>\n    P(E)P(N) = 0,60\u00d70,098 = 0,0588,\n    tandis que P(E &cap; N) = 0,09.\n    <br>Comme P(E &cap; N) &ne; P(E)P(N), les \u00e9v\u00e9nements \u00ab \u00eatre externe \u00bb et \u00ab ne pas se pr\u00e9senter \u00bb ne sont pas ind\u00e9pendants.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 1 Probabilit\u00e9s conditionnelles et ind\u00e9pendance 1. Objectifs du chapitre Introduire et manipuler la probabilit\u00e9 conditionnelle P(B|A). Utiliser des arbres pond\u00e9r\u00e9s et des tableaux de probabilit\u00e9s. Appliquer la formule des probabilit\u00e9s totales et la formule de Bayes dans des cas simples. D\u00e9finir et tester l\u2019ind\u00e9pendance de deux \u00e9v\u00e9nements. 2. Cours 2.1 &#8230; <a title=\"Chapitre 1\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=375\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre 1\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-375","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=375"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":376,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/375\/revisions\/376"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=375"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=375"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=375"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}