{"id":377,"date":"2026-03-19T12:02:30","date_gmt":"2026-03-19T12:02:30","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=377"},"modified":"2026-03-19T12:02:31","modified_gmt":"2026-03-19T12:02:31","slug":"chapitre-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=377","title":{"rendered":"Chapitre 3"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 3<\/h1>\n  <h2>Suites num\u00e9riques (g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s, suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques)<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Comprendre la notion de <strong>suite num\u00e9rique<\/strong> comme liste ordonn\u00e9e de nombres.<\/li>\n    <li>Savoir d\u00e9finir une suite par <strong>formule explicite<\/strong> ou par <strong>relation de r\u00e9currence<\/strong>.<\/li>\n    <li>Reconna\u00eetre et exploiter les <strong>suites arithm\u00e9tiques<\/strong> et <strong>g\u00e9om\u00e9triques<\/strong>.<\/li>\n    <li>Utiliser graphiques, tableaux et expressions alg\u00e9briques pour \u00e9tudier une suite.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 D\u00e9finition d\u2019une suite<\/h4>\n  <p>\n    Une <strong>suite num\u00e9rique<\/strong> (u<sub>n<\/sub>) est une liste ordonn\u00e9e de nombres r\u00e9els :\n    \u00e0 chaque entier naturel n (0, 1, 2, \u2026) on associe un nombre r\u00e9el u<sub>n<\/sub>.\n  <\/p>\n  <p>\n    On note la suite : (u<sub>n<\/sub>)<sub>n\u22650<\/sub> ou simplement (u<sub>n<\/sub>).\n    Le nombre u<sub>0<\/sub> est le <strong>premier terme<\/strong>, u<sub>1<\/sub> le deuxi\u00e8me, etc.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.2 Deux modes de d\u00e9finition<\/h4>\n\n  <h5>a) D\u00e9finition explicite<\/h5>\n  <p>\n    On donne une formule qui permet de calculer directement u<sub>n<\/sub> en fonction de n.\n  <\/p>\n  <p>\n    Exemple : u<sub>n<\/sub> = 2n + 3. Alors :\n    u<sub>0<\/sub> = 3, u<sub>1<\/sub> = 5, u<sub>2<\/sub> = 7, etc.\n  <\/p>\n\n  <h5>b) D\u00e9finition par r\u00e9currence<\/h5>\n  <p>\n    On donne un <strong>terme initial<\/strong> u<sub>0<\/sub> (ou u<sub>1<\/sub>) et une relation qui permet\n    de passer d\u2019un terme au suivant.\n  <\/p>\n  <p>\n    Exemple : u<sub>0<\/sub> = 3 et pour tout entier n, u<sub>n+1<\/sub> = u<sub>n<\/sub> + 2.\n    <br>On obtient : u<sub>0<\/sub> = 3, u<sub>1<\/sub> = 5, u<sub>2<\/sub> = 7, \u2026\n  <\/p>\n\n  <h4>2.3 Suites arithm\u00e9tiques<\/h4>\n  <p>\n    Une suite (u<sub>n<\/sub>) est dite <strong>arithm\u00e9tique<\/strong> s\u2019il existe un r\u00e9el r tel que,\n    pour tout entier n :\n  <\/p>\n  <p>\n    u<sub>n+1<\/sub> = u<sub>n<\/sub> + r.\n  <\/p>\n  <p>\n    Le nombre r est la <strong>raison<\/strong> de la suite.\n  <\/p>\n  <p>\n    <strong>Formule explicite<\/strong> d\u2019une suite arithm\u00e9tique de premier terme u<sub>0<\/sub> :\n  <\/p>\n  <p>\n    u<sub>n<\/sub> = u<sub>0<\/sub> + n\u00b7r.\n  <\/p>\n  <p>\n    Exemple : u<sub>0<\/sub> = 3 et r = 5 \u21d2 u<sub>n<\/sub> = 3 + 5n (3, 8, 13, 18, \u2026).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 Suites g\u00e9om\u00e9triques<\/h4>\n  <p>\n    Une suite (v<sub>n<\/sub>) est dite <strong>g\u00e9om\u00e9trique<\/strong> s\u2019il existe un r\u00e9el q tel que,\n    pour tout entier n :\n  <\/p>\n  <p>\n    v<sub>n+1<\/sub> = q\u00b7v<sub>n<\/sub>.\n  <\/p>\n  <p>\n    Le nombre q est la <strong>raison<\/strong> de la suite g\u00e9om\u00e9trique.\n  <\/p>\n  <p>\n    <strong>Formule explicite<\/strong> d\u2019une suite g\u00e9om\u00e9trique de premier terme v<sub>0<\/sub> :\n  <\/p>\n  <p>\n    v<sub>n<\/sub> = v<sub>0<\/sub>\u00b7q<sup>n<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    Exemple : v<sub>0<\/sub> = 5 et q = 2 \u21d2 v<sub>n<\/sub> = 5\u00b72<sup>n<\/sup> (5, 10, 20, 40, \u2026).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.5 Sens de variation (id\u00e9e intuitive)<\/h4>\n  <p>\n    Pour une suite arithm\u00e9tique (u<sub>n<\/sub>) de raison r :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>si r &gt; 0, la suite est <strong>croissante<\/strong> ;<\/li>\n    <li>si r &lt; 0, la suite est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> ;<\/li>\n    <li>si r = 0, la suite est <strong>constante<\/strong>.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Pour une suite g\u00e9om\u00e9trique de raison q &gt; 0 :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>si q &gt; 1, la suite est croissante (si v<sub>0<\/sub> &gt; 0) ;<\/li>\n    <li>si 0 &lt; q &lt; 1, la suite est d\u00e9croissante (si v<sub>0<\/sub> &gt; 0).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Reconna\u00eetre le type de suite<\/h4>\n  <p>\n    Pour chaque suite ci-dessous, on donne les premiers termes. Dire si la suite\n    semble arithm\u00e9tique, g\u00e9om\u00e9trique ou ni l\u2019un ni l\u2019autre, puis d\u00e9terminer la raison si elle existe.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; \u2026<\/li>\n    <li>b) 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; \u2026<\/li>\n    <li>c) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; \u2026<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) Les diff\u00e9rences successives valent 3 : 5\u22122 = 3, 8\u22125 = 3, 11\u22128 = 3, \u2026\n    <br>La suite est <strong>arithm\u00e9tique<\/strong> de raison r = 3.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) Les quotients successifs valent 2 : 6\/3 = 2, 12\/6 = 2, 24\/12 = 2, \u2026\n    <br>La suite est <strong>g\u00e9om\u00e9trique<\/strong> de raison q = 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    c) Les diff\u00e9rences ne sont pas constantes (4\u22121 = 3, 9\u22124 = 5, 16\u22129 = 7, \u2026),\n    et les quotients non plus. La suite n\u2019est ni arithm\u00e9tique ni g\u00e9om\u00e9trique (c\u2019est la suite des carr\u00e9s).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Suite arithm\u00e9tique : terme g\u00e9n\u00e9ral<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une suite arithm\u00e9tique (u<sub>n<\/sub>) de premier terme u<sub>0<\/sub> = 4 et de raison r = \u22123.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer u<sub>1<\/sub>, u<sub>2<\/sub> et u<sub>3<\/sub>.<\/li>\n    <li>\u00c9crire une expression de u<sub>n<\/sub> en fonction de n.<\/li>\n    <li>Calculer u<sub>10<\/sub>.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. u<sub>1<\/sub> = u<sub>0<\/sub> + r = 4 \u2212 3 = 1 ;\n    <br>u<sub>2<\/sub> = u<sub>1<\/sub> + r = 1 \u2212 3 = \u22122 ;\n    <br>u<sub>3<\/sub> = u<sub>2<\/sub> + r = \u22122 \u2212 3 = \u22125.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Formule g\u00e9n\u00e9rale d\u2019une suite arithm\u00e9tique :\n    u<sub>n<\/sub> = u<sub>0<\/sub> + n\u00b7r = 4 + n(\u22123) = 4 \u2212 3n.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. u<sub>10<\/sub> = 4 \u2212 3\u00d710 = 4 \u2212 30 = \u221226.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Suite g\u00e9om\u00e9trique : terme g\u00e9n\u00e9ral<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une suite g\u00e9om\u00e9trique (v<sub>n<\/sub>) d\u00e9finie par v<sub>0<\/sub> = 5 et, pour tout n, v<sub>n+1<\/sub> = 1,2\u00b7v<sub>n<\/sub>.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer v<sub>1<\/sub>, v<sub>2<\/sub> et v<sub>3<\/sub>.<\/li>\n    <li>Expliquer pourquoi la suite est g\u00e9om\u00e9trique et donner sa raison.<\/li>\n    <li>Donner une expression de v<sub>n<\/sub> en fonction de n.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. v<sub>1<\/sub> = 1,2\u00d75 = 6 ;\n    <br>v<sub>2<\/sub> = 1,2\u00d76 = 7,2 ;\n    <br>v<sub>3<\/sub> = 1,2\u00d77,2 = 8,64.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. On a v<sub>n+1<\/sub> = 1,2\u00b7v<sub>n<\/sub> : on multiplie toujours par le m\u00eame nombre 1,2.\n    <br>La suite est donc <strong>g\u00e9om\u00e9trique<\/strong> de raison q = 1,2.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. Formule g\u00e9n\u00e9rale : v<sub>n<\/sub> = v<sub>0<\/sub>\u00b7q<sup>n<\/sup> = 5\u00b7(1,2)<sup>n<\/sup>.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Mod\u00e9lisation : \u00e9conomie<\/h4>\n  <p>\n    Une quantit\u00e9 de m\u00e9dicaments stock\u00e9e dans un service est de 1&nbsp;000 unit\u00e9s au d\u00e9but du mois (n = 0).\n    On suppose qu\u2019\u00e0 la fin de chaque mois, la quantit\u00e9 diminue de 8&nbsp;% (pertes, p\u00e9remption, etc.).\n    On note q<sub>n<\/sub> la quantit\u00e9 en stock (en unit\u00e9s) \u00e0 la fin du mois n.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Exprimer q<sub>1<\/sub> en fonction de q<sub>0<\/sub>, puis calculer q<sub>1<\/sub>.<\/li>\n    <li>Montrer que (q<sub>n<\/sub>) est une suite g\u00e9om\u00e9trique et pr\u00e9ciser son premier terme et sa raison.<\/li>\n    <li>Exprimer q<sub>n<\/sub> en fonction de n.<\/li>\n    <li>Estimer q<sub>6<\/sub> (au plus proche entier).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. Diminution de 8&nbsp;% \u21d2 on conserve 92&nbsp;% de la quantit\u00e9 :\n    <br>q<sub>1<\/sub> = 0,92\u00b7q<sub>0<\/sub> = 0,92\u00d71&nbsp;000 = 920.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Chaque mois, on multiplie par 0,92 :\n    q<sub>n+1<\/sub> = 0,92\u00b7q<sub>n<\/sub>.\n    <br>La suite (q<sub>n<\/sub>) est donc <strong>g\u00e9om\u00e9trique<\/strong>, de premier terme q<sub>0<\/sub> = 1&nbsp;000 et de raison q = 0,92.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. q<sub>n<\/sub> = 1&nbsp;000\u00b70,92<sup>n<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    4. q<sub>6<\/sub> = 1&nbsp;000\u00b70,92<sup>6<\/sup> \u2248 1&nbsp;000\u00b70,606 \u2248 606 unit\u00e9s.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 R\u00e9currence et terme explicite (niveau avanc\u00e9)<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une suite (w<sub>n<\/sub>) d\u00e9finie par : w<sub>0<\/sub> = 2 et, pour tout entier n,\n  <\/p>\n  <p>\n    w<sub>n+1<\/sub> = 3w<sub>n<\/sub> \u2212 4.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer w<sub>1<\/sub>, w<sub>2<\/sub> et w<sub>3<\/sub>.<\/li>\n    <li>On pose z<sub>n<\/sub> = w<sub>n<\/sub> \u2212 2. Montrer que (z<sub>n<\/sub>) est une suite g\u00e9om\u00e9trique.<\/li>\n    <li>En d\u00e9duire une expression de w<sub>n<\/sub> en fonction de n.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. w<sub>1<\/sub> = 3\u00d72 \u2212 4 = 2 ;\n    <br>w<sub>2<\/sub> = 3\u00d72 \u2212 4 = 2 ; on obtient en fait w<sub>n<\/sub> = 2 pour tout n \u00e0 partir du calcul direct :\n    ici la suite est constante (exemple simple).\n  <\/p>\n  <p>\n    Pour illustrer la m\u00e9thode, on modifie l\u00e9g\u00e8rement la suite :\n    consid\u00e9rons plut\u00f4t w<sub>0<\/sub> = 2 et w<sub>n+1<\/sub> = 3w<sub>n<\/sub> \u2212 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    Nouveau calcul :\n    <br>w<sub>1<\/sub> = 3\u00d72 \u2212 2 = 4 ;\n    <br>w<sub>2<\/sub> = 3\u00d74 \u2212 2 = 10 ;\n    <br>w<sub>3<\/sub> = 3\u00d710 \u2212 2 = 28.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. On pose z<sub>n<\/sub> = w<sub>n<\/sub> \u2212 1.\n    <br>Alors w<sub>n<\/sub> = z<sub>n<\/sub> + 1.\n  <\/p>\n  <p>\n    On calcule z<sub>n+1<\/sub> :\n    <br>z<sub>n+1<\/sub> = w<sub>n+1<\/sub> \u2212 1 = (3w<sub>n<\/sub> \u2212 2) \u2212 1 = 3w<sub>n<\/sub> \u2212 3 = 3(w<sub>n<\/sub> \u2212 1) = 3z<sub>n<\/sub>.\n  <\/p>\n  <p>\n    Donc (z<sub>n<\/sub>) est une suite <strong>g\u00e9om\u00e9trique<\/strong> de raison 3.\n    <br>De plus z<sub>0<\/sub> = w<sub>0<\/sub> \u2212 1 = 2 \u2212 1 = 1.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. On en d\u00e9duit : z<sub>n<\/sub> = 1\u00b73<sup>n<\/sup> = 3<sup>n<\/sup>.\n    <br>Donc w<sub>n<\/sub> = z<sub>n<\/sub> + 1 = 3<sup>n<\/sup> + 1.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 3 Suites num\u00e9riques (g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9s, suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques) 1. Objectifs du chapitre Comprendre la notion de suite num\u00e9rique comme liste ordonn\u00e9e de nombres. Savoir d\u00e9finir une suite par formule explicite ou par relation de r\u00e9currence. Reconna\u00eetre et exploiter les suites arithm\u00e9tiques et g\u00e9om\u00e9triques. 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