{"id":379,"date":"2026-03-19T12:33:02","date_gmt":"2026-03-19T12:33:02","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=379"},"modified":"2026-03-19T12:33:02","modified_gmt":"2026-03-19T12:33:02","slug":"chapitre-4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=379","title":{"rendered":"Chapitre 4"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 4<\/h1>\n  <h2>Polyn\u00f4mes du second degr\u00e9, \u00e9quations et signe<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Reconna\u00eetre et manipuler une <strong>fonction polyn\u00f4me du second degr\u00e9<\/strong> : f(x) = ax\u00b2 + bx + c.<\/li>\n    <li>R\u00e9soudre des <strong>\u00e9quations et in\u00e9quations du second degr\u00e9<\/strong>.<\/li>\n    <li>Utiliser le <strong>discriminant<\/strong> et le <strong>sommet de la parabole<\/strong>.<\/li>\n    <li>Exploiter les <strong>tableaux de signes<\/strong> et de variations de f.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 D\u00e9finition<\/h4>\n  <p>\n    Une <strong>fonction polyn\u00f4me du second degr\u00e9<\/strong> est une fonction de la forme :\n  <\/p>\n  <p>\n    f(x) = ax\u00b2 + bx + c, avec a, b, c r\u00e9els et a \u2260 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    Sa courbe repr\u00e9sentative est une <strong>parabole<\/strong> dans le plan, ouverte vers le haut si a &gt; 0,\n    vers le bas si a &lt; 0.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.2 \u00c9quation du second degr\u00e9<\/h4>\n  <p>\n    On cherche \u00e0 r\u00e9soudre : ax\u00b2 + bx + c = 0, avec a \u2260 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    On calcule le <strong>discriminant<\/strong> :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u0394 = b\u00b2 \u2212 4ac.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Si \u0394 &gt; 0 : il y a deux racines r\u00e9elles distinctes :<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    x<sub>1<\/sub> = (\u2212b \u2212 \u221a\u0394) \/ (2a), &nbsp;&nbsp; x<sub>2<\/sub> = (\u2212b + \u221a\u0394) \/ (2a).\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Si \u0394 = 0 : il y a une racine r\u00e9elle double :<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    x<sub>0<\/sub> = \u2212b \/ (2a).\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Si \u0394 &lt; 0 : il n\u2019y a <strong>pas de solution r\u00e9elle<\/strong>.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.3 Factorisation et signe de ax\u00b2 + bx + c<\/h4>\n  <p>\n    Quand l\u2019\u00e9quation ax\u00b2 + bx + c = 0 admet des racines r\u00e9elles x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>, on peut souvent \u00e9crire :\n  <\/p>\n  <p>\n    ax\u00b2 + bx + c = a(x \u2212 x<sub>1<\/sub>)(x \u2212 x<sub>2<\/sub>).\n  <\/p>\n  <p>\n    Le <strong>signe<\/strong> de ax\u00b2 + bx + c se lit alors sur un tableau de signes :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>le signe de a est constant et \u00ab commande \u00bb le signe en dehors des racines,<\/li>\n    <li>le polyn\u00f4me change de signe en chaque racine.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.4 Sommet de la parabole<\/h4>\n  <p>\n    La fonction f(x) = ax\u00b2 + bx + c admet un <strong>sommet<\/strong> S (\u03b1 ; f(\u03b1)) avec :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u03b1 = \u2212b \/ (2a).\n  <\/p>\n  <p>\n    On peut montrer que pour tout x :\n  <\/p>\n  <p>\n    f(x) = a(x \u2212 \u03b1)\u00b2 + f(\u03b1).\n  <\/p>\n  <p>\n    Si a &gt; 0, f admet un <strong>minimum<\/strong> en x = \u03b1. Si a &lt; 0, f admet un <strong>maximum<\/strong> en x = \u03b1.\n  <\/p>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Calcul de discriminant et racines<\/h4>\n  <p>\n    R\u00e9soudre dans \u211d les \u00e9quations suivantes :\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>a) x\u00b2 \u2212 5x + 6 = 0<\/li>\n    <li>b) 2x\u00b2 + 4x + 1 = 0<\/li>\n    <li>c) 3x\u00b2 + 2x + 5 = 0<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) f(x) = x\u00b2 \u2212 5x + 6 : a = 1, b = \u22125, c = 6.\n    <br>\u0394 = (\u22125)\u00b2 \u2212 4\u00d71\u00d76 = 25 \u2212 24 = 1 &gt; 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    x<sub>1<\/sub> = (5 \u2212 1) \/ 2 = 4\/2 = 2 ; &nbsp;\n    x<sub>2<\/sub> = (5 + 1) \/ 2 = 6\/2 = 3.\n  <\/p>\n  <p>\n    Ensemble de solutions : {2 ; 3}.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) 2x\u00b2 + 4x + 1 : a = 2, b = 4, c = 1.\n    <br>\u0394 = 4\u00b2 \u2212 4\u00d72\u00d71 = 16 \u2212 8 = 8 &gt; 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    \u221a\u0394 = \u221a8 = 2\u221a2.\n    <br>x<sub>1<\/sub> = (\u22124 \u2212 2\u221a2) \/ (4) = (\u22122 \u2212 \u221a2)\/2 ;\n    <br>x<sub>2<\/sub> = (\u22124 + 2\u221a2) \/ (4) = (\u22122 + \u221a2)\/2.\n  <\/p>\n  <p>\n    c) 3x\u00b2 + 2x + 5 : a = 3, b = 2, c = 5.\n    <br>\u0394 = 2\u00b2 \u2212 4\u00d73\u00d75 = 4 \u2212 60 = \u221256 &lt; 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    Il n\u2019y a <strong>pas de solution r\u00e9elle<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Factoriser un trin\u00f4me<\/h4>\n  <p>\n    Factoriser les expressions suivantes quand c\u2019est possible :\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>a) x\u00b2 \u2212 5x + 6<\/li>\n    <li>b) 2x\u00b2 \u2212 3x \u2212 2<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) On a vu que les racines de x\u00b2 \u2212 5x + 6 = 0 sont 2 et 3.\n    <br>Donc : x\u00b2 \u2212 5x + 6 = (x \u2212 2)(x \u2212 3).\n  <\/p>\n  <p>\n    b) Pour 2x\u00b2 \u2212 3x \u2212 2 : a = 2, b = \u22123, c = \u22122.\n    <br>\u0394 = (\u22123)\u00b2 \u2212 4\u00d72\u00d7(\u22122) = 9 + 16 = 25.\n    <br>\u221a\u0394 = 5.\n  <\/p>\n  <p>\n    x<sub>1<\/sub> = (3 \u2212 5) \/ 4 = \u22122\/4 = \u22121\/2 ; &nbsp;\n    x<sub>2<\/sub> = (3 + 5) \/ 4 = 8\/4 = 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    Donc : 2x\u00b2 \u2212 3x \u2212 2 = 2(x + 1\/2)(x \u2212 2) = (2x + 1)(x \u2212 2).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Tableau de signes<\/h4>\n  <p>\n    Soit f(x) = x\u00b2 \u2212 5x + 6.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>R\u00e9soudre f(x) = 0 et factoriser f(x).<\/li>\n    <li>\u00c9tablir le <strong>tableau de signes<\/strong> de f(x).<\/li>\n    <li>En d\u00e9duire le signe de f(x) et r\u00e9soudre f(x) \u2265 0.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. On a d\u00e9j\u00e0 : f(x) = (x \u2212 2)(x \u2212 3).\n    <br>Les racines sont 2 et 3.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Tableau de signes (a &gt; 0, donc signe + en dehors des racines) :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u2013 Pour x &lt; 2 : les deux facteurs (x \u2212 2) et (x \u2212 3) sont n\u00e9gatifs \u21d2 produit positif.  \n    \u2013 Pour 2 &lt; x &lt; 3 : (x \u2212 2) &gt; 0, (x \u2212 3) &lt; 0 \u21d2 produit n\u00e9gatif.  \n    \u2013 Pour x &gt; 3 : les deux facteurs sont positifs \u21d2 produit positif.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. f(x) \u2265 0 pour x \u2264 2 ou x \u2265 3.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Sommet et variations<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re la fonction f d\u00e9finie sur \u211d par f(x) = 2x\u00b2 \u2212 4x + 1.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer le discriminant \u0394 et d\u00e9terminer s\u2019il y a des racines r\u00e9elles.<\/li>\n    <li>D\u00e9terminer les coordonn\u00e9es du <strong>sommet<\/strong> de la parabole.<\/li>\n    <li>\u00c9tablir le <strong>sens de variation<\/strong> de f.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. a = 2, b = \u22124, c = 1.\n    <br>\u0394 = (\u22124)\u00b2 \u2212 4\u00d72\u00d71 = 16 \u2212 8 = 8 &gt; 0 : deux racines r\u00e9elles.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. \u03b1 = \u2212b \/ (2a) = 4 \/ 4 = 1.\n    <br>f(1) = 2\u00d71\u00b2 \u2212 4\u00d71 + 1 = 2 \u2212 4 + 1 = \u22121.\n    <br>Le sommet est S(1 ; \u22121).\n  <\/p>\n  <p>\n    3. a = 2 &gt; 0, la parabole est tourn\u00e9e vers le haut.\n    <br>Donc f est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur (\u2212\u221e ; 1] puis <strong>croissante<\/strong> sur [1 ; +\u221e).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Probl\u00e8me d\u2019optimisation<\/h4>\n  <p>\n    Un rectangulaire a un p\u00e9rim\u00e8tre fixe de 20 cm. On note x la longueur (en cm) d\u2019un c\u00f4t\u00e9 et y celle de l\u2019autre.\n    On suppose x &gt; 0 et y &gt; 0.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Exprimer y en fonction de x.<\/li>\n    <li>Exprimer l\u2019aire A(x) du rectangle en fonction de x.<\/li>\n    <li>Montrer que A(x) peut s\u2019\u00e9crire sous la forme : A(x) = \u22122x\u00b2 + 20x.<\/li>\n    <li>D\u00e9terminer la valeur de x qui maximise l\u2019aire A(x).<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. Le p\u00e9rim\u00e8tre vaut 2(x + y) = 20 \u21d2 x + y = 10 \u21d2 y = 10 \u2212 x.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. A(x) = x\u00b7y = x(10 \u2212 x) = 10x \u2212 x\u00b2.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. On peut aussi \u00e9crire A(x) = \u2212x\u00b2 + 10x.\n    <br>En factorisant par \u22121 : A(x) = \u2212(x\u00b2 \u2212 10x) = \u2212(x\u00b2 \u2212 10x + 25 \u2212 25) = \u2212[(x \u2212 5)\u00b2 \u2212 25] = \u2212(x \u2212 5)\u00b2 + 25.\n    <br>(La forme \u22122x\u00b2 + 20x correspondrait \u00e0 un p\u00e9rim\u00e8tre 40 ; ici on garde \u2212x\u00b2 + 10x.)\n  <\/p>\n  <p>\n    4. On a A(x) = \u2212(x \u2212 5)\u00b2 + 25, parabole tourn\u00e9e vers le bas, sommet en x = 5.\n    <br>L\u2019aire maximale est A(5) = 25 cm\u00b2, obtenue pour x = 5 et donc y = 5 : le rectangle est un carr\u00e9.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 4 Polyn\u00f4mes du second degr\u00e9, \u00e9quations et signe 1. Objectifs du chapitre Reconna\u00eetre et manipuler une fonction polyn\u00f4me du second degr\u00e9 : f(x) = ax\u00b2 + bx + c. R\u00e9soudre des \u00e9quations et in\u00e9quations du second degr\u00e9. Utiliser le discriminant et le sommet de la parabole. Exploiter les tableaux de &#8230; <a title=\"Chapitre 4\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=379\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre 4\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-379","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/379","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=379"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/379\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":380,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/379\/revisions\/380"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=379"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=379"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=379"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}