{"id":381,"date":"2026-03-19T12:34:41","date_gmt":"2026-03-19T12:34:41","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=381"},"modified":"2026-03-19T12:34:41","modified_gmt":"2026-03-19T12:34:41","slug":"chapitre-5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=381","title":{"rendered":"Chapitre 5"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 5<\/h1>\n  <h2>Fonctions usuelles et \u00e9tude de fonctions<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Manipuler les <strong>fonctions usuelles<\/strong> (affine, carr\u00e9, inverse, racine, valeur absolue, polyn\u00f4mes simples).<\/li>\n    <li>Lire et interpr\u00e9ter une fonction \u00e0 partir d\u2019un <strong>graphique<\/strong> ou d\u2019un <strong>tableau de valeurs<\/strong>.<\/li>\n    <li>Construire des <strong>tableaux de variation<\/strong> simples et utiliser les notions de minimum \/ maximum sur un intervalle.<\/li>\n    <li>R\u00e9soudre graphiquement ou par le calcul des <strong>\u00e9quations<\/strong> et <strong>in\u00e9quations<\/strong> du type f(x)=k ou f(x)\u2265k.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 Rappels : fonction, image, ant\u00e9c\u00e9dent<\/h4>\n  <p>\n    Une <strong>fonction<\/strong> f associe \u00e0 tout nombre r\u00e9el x d\u2019un ensemble de d\u00e9part D une valeur r\u00e9elle f(x).\n    On dit que f(x) est l\u2019<strong>image<\/strong> de x par f, et que x est un <strong>ant\u00e9c\u00e9dent<\/strong> de f(x).\n  <\/p>\n  <p>\n    On repr\u00e9sente une fonction par :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>une <strong>expression alg\u00e9brique<\/strong> (par exemple f(x) = 2x \u2212 3) ;<\/li>\n    <li>un <strong>tableau de valeurs<\/strong> ;<\/li>\n    <li>un <strong>graphique<\/strong> (courbe dans un rep\u00e8re).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.2 Fonctions usuelles<\/h4>\n\n  <h5>a) Fonction affine<\/h5>\n  <p>\n    Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, o\u00f9 a et b sont des r\u00e9els.\n    Sa repr\u00e9sentation est une <strong>droite<\/strong> de pente (coefficient directeur) a et d\u2019ordonn\u00e9e \u00e0 l\u2019origine b. [web:127][web:132]\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Si a &gt; 0, f est <strong>croissante<\/strong> sur \u211d ;<\/li>\n    <li>si a &lt; 0, f est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur \u211d ;<\/li>\n    <li>si a = 0, f est constante : f(x) = b.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h5>b) Fonction carr\u00e9<\/h5>\n  <p>\n    La fonction carr\u00e9 est d\u00e9finie sur \u211d par : f(x) = x\u00b2.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Son graphique est une parabole sym\u00e9trique par rapport \u00e0 l\u2019axe vertical.<\/li>\n    <li>Elle est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur (\u2212\u221e ; 0] et <strong>croissante<\/strong> sur [0 ; +\u221e).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h5>c) Fonction inverse (sur \u211d\\{0})<\/h5>\n  <p>\n    La fonction inverse est d\u00e9finie par g(x) = 1\/x, pour x \u2260 0.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Sur (0 ; +\u221e), g est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> et positive ;<\/li>\n    <li>sur (\u2212\u221e ; 0), g est <strong>croissante<\/strong> et n\u00e9gative.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h5>d) Fonction racine carr\u00e9e<\/h5>\n  <p>\n    La fonction h(x) = \u221ax est d\u00e9finie sur [0 ; +\u221e). Elle est <strong>croissante<\/strong> sur cet intervalle.\n  <\/p>\n\n  <h5>e) Fonction valeur absolue<\/h5>\n  <p>\n    La fonction v(x) = |x| est d\u00e9finie par :\n  <\/p>\n  <p>\n    |x| = x si x \u2265 0, &nbsp; |x| = \u2212x si x &lt; 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    Elle est d\u00e9croissante sur (\u2212\u221e ; 0] et croissante sur [0 ; +\u221e).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.3 Sens de variation d\u2019une fonction<\/h4>\n  <p>\n    Soit f d\u00e9finie sur un intervalle I.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>f est <strong>croissante<\/strong> sur I si, pour tous r\u00e9els a, b de I, a &lt; b \u21d2 f(a) \u2264 f(b) ;<\/li>\n    <li>f est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur I si, pour tous a, b de I, a &lt; b \u21d2 f(a) \u2265 f(b).<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    On r\u00e9sume ces informations dans un <strong>tableau de variation<\/strong> :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>premi\u00e8re ligne : valeurs de x ;<\/li>\n    <li>deuxi\u00e8me ligne : fl\u00e8ches montantes ou descendantes indiquant l\u2019\u00e9volution de f(x).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.4 Minimum, maximum, extrema<\/h4>\n  <p>\n    On dit que f admet un <strong>minimum<\/strong> m sur un intervalle I s\u2019il existe c dans I tel que\n    f(c) = m et, pour tout x dans I, f(x) \u2265 m.\n  <\/p>\n  <p>\n    On parle de <strong>maximum<\/strong> M si f(c) = M et, pour tout x dans I, f(x) \u2264 M.\n    On regroupe \u00ab minimum \u00bb et \u00ab maximum \u00bb sous le terme <strong>extremum<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.5 R\u00e9solution graphique d\u2019\u00e9quations et d\u2019in\u00e9quations<\/h4>\n  <p>\n    Pour r\u00e9soudre f(x) = k graphiquement :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>on trace la courbe de f et la droite horizontale y = k ;<\/li>\n    <li>les abscisses des points d\u2019intersection donnent les solutions.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Pour r\u00e9soudre f(x) \u2265 k :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>on rep\u00e8re sur le graphique les zones o\u00f9 la courbe de f est au-dessus (ou sur) la droite y = k ;<\/li>\n    <li>on lit les intervalles correspondants en abscisse.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Fonction affine<\/h4>\n  <p>\n    Soit la fonction f d\u00e9finie sur \u211d par f(x) = 3x \u2212 2.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer f(0), f(1) et f(\u22122).<\/li>\n    <li>Compl\u00e9ter un tableau de valeurs pour x = \u22121, 0, 1, 2.<\/li>\n    <li>La fonction est-elle croissante ou d\u00e9croissante sur \u211d&nbsp;? Justifier.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. f(0) = 3\u00d70 \u2212 2 = \u22122 ; f(1) = 3\u00d71 \u2212 2 = 1 ; f(\u22122) = 3\u00d7(\u22122) \u2212 2 = \u22128.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Tableau de valeurs :\n  <\/p>\n  <table>\n    <thead>\n      <tr>\n        <th>x<\/th>\n        <th>\u22121<\/th>\n        <th>0<\/th>\n        <th>1<\/th>\n        <th>2<\/th>\n      <\/tr>\n    <\/thead>\n    <tbody>\n      <tr>\n        <td>f(x)<\/td>\n        <td>\u22125<\/td>\n        <td>\u22122<\/td>\n        <td>1<\/td>\n        <td>4<\/td>\n      <\/tr>\n    <\/tbody>\n  <\/table>\n  <p>\n    3. f(x) = 3x \u2212 2 est une fonction affine de coefficient directeur 3 &gt; 0, donc f est\n    <strong>croissante<\/strong> sur \u211d.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Variation de la fonction carr\u00e9<\/h4>\n  <p>\n    Soit g(x) = x\u00b2.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer g(\u22123), g(\u22121), g(0), g(1), g(2).<\/li>\n    <li>\u00c0 partir des valeurs trouv\u00e9es, indiquer sur quels intervalles g est croissante et d\u00e9croissante.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. g(\u22123) = 9 ; g(\u22121) = 1 ; g(0) = 0 ; g(1) = 1 ; g(2) = 4.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. En lisant les valeurs :\n    <br>De x = \u22123 \u00e0 x = 0, les images 9, 1, 0 d\u00e9croissent : g est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur (\u2212\u221e ; 0].\n    <br>De x = 0 \u00e0 x = 2, les images 0, 1, 4 croissent : g est <strong>croissante<\/strong> sur [0 ; +\u221e).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Valeur absolue<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re la fonction v d\u00e9finie sur \u211d par v(x) = |x|.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Compl\u00e9ter le tableau de valeurs pour x = \u22123, \u22121, 0, 1, 3.<\/li>\n    <li>Donner son sens de variation sur (\u2212\u221e ; 0] puis sur [0 ; +\u221e).<\/li>\n    <li>R\u00e9soudre v(x) = 2.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. v(\u22123) = 3 ; v(\u22121) = 1 ; v(0) = 0 ; v(1) = 1 ; v(3) = 3.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Quand x passe de \u22123 \u00e0 0, les images 3, 1, 0 d\u00e9croissent :\n    v est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur (\u2212\u221e ; 0].\n    <br>De 0 \u00e0 3, les images 0, 1, 3 croissent : v est <strong>croissante<\/strong> sur [0 ; +\u221e).\n  <\/p>\n  <p>\n    3. R\u00e9soudre |x| = 2 revient \u00e0 chercher les nombres dont la distance \u00e0 0 vaut 2 :\n    <br>Solutions : x = \u22122 ou x = 2.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Lecture graphique<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re la courbe d\u2019une fonction f d\u00e9finie sur l\u2019intervalle [\u22122 ; 5].\n    On sait que :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>f est d\u00e9croissante de \u22122 \u00e0 1, puis croissante de 1 \u00e0 5 ;<\/li>\n    <li>f(\u22122) = 4 ; f(1) = \u22121 ; f(5) = 3.<\/li>\n  <\/ul>\n  <ol>\n    <li>Compl\u00e9ter le tableau de variation de f sur [\u22122 ; 5].<\/li>\n    <li>Quel est le minimum de f sur cet intervalle&nbsp;? Pour quelle valeur de x est-il atteint&nbsp;?<\/li>\n    <li>Quel est le maximum de f sur [\u22122 ; 5]&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. Tableau de variation :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>De x = \u22122 \u00e0 x = 1 : f descend de 4 \u00e0 \u22121.<\/li>\n    <li>De x = 1 \u00e0 x = 5 : f monte de \u22121 \u00e0 3.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    2. Le minimum est \u22121, atteint pour x = 1.<\/p>\n  <p>\n    3. Le maximum vaut 4 (pour x = \u22122) si l\u2019on ne regarde que les valeurs donn\u00e9es ; sur [\u22122 ; 5], d\u2019apr\u00e8s les infos,\n    c\u2019est bien la plus grande valeur.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 R\u00e9solution graphique d\u2019une in\u00e9quation<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re une fonction f d\u00e9finie sur [0 ; 10] dont on conna\u00eet le tableau de variation :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>f est croissante sur [0 ; 3] et f(0) = 2, f(3) = 5 ;<\/li>\n    <li>f est d\u00e9croissante sur [3 ; 8] et f(8) = 1 ;<\/li>\n    <li>f est croissante sur [8 ; 10] et f(10) = 4.<\/li>\n  <\/ul>\n  <ol>\n    <li>Sur quel(s) intervalle(s) f(x) \u2265 3&nbsp;?<\/li>\n    <li>Sur quel(s) intervalle(s) f(x) \u2264 2&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. f(0) = 2 &lt; 3 et f(3) = 5 &gt; 3. Sur [0 ; 3], par croissance, il existe un unique c dans (0 ; 3)\n    tel que f(c) = 3 ; f(x) \u2265 3 pour x \u2208 [c ; 3].\n    <br>Sur [3 ; 8], f d\u00e9cro\u00eet de 5 \u00e0 1 : il existe un unique d dans (3 ; 8) tel que f(d) = 3 ;\n    f(x) \u2265 3 pour x \u2208 [3 ; d].\n    <br>Sur [8 ; 10], f passe de 1 \u00e0 4 : il existe un unique e dans (8 ; 10) tel que f(e) = 3 ;\n    f(x) \u2265 3 pour x \u2208 [e ; 10].\n  <\/p>\n  <p>\n    Globalement, l\u2019ensemble des solutions de f(x) \u2265 3 est la r\u00e9union des intervalles\n    [c ; d] \u222a [e ; 10], o\u00f9 c, d, e sont lus graphiquement.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. f(x) \u2264 2 s\u2019observe l\u00e0 o\u00f9 la courbe est en dessous ou au niveau de la hauteur 2.\n    <br>En utilisant les variations :\n    <ul>\n      <li>Sur [0 ; 3], f(0) = 2 et f cro\u00eet ensuite au-dessus de 2 \u21d2 solutions dans [0 ; c<sub>2<\/sub>]<\/li>\n      <li>Sur [3 ; 8], f d\u00e9cro\u00eet et passe en dessous de 2 puis remonte vers 1 : on rep\u00e8re un intervalle [d<sub>2<\/sub> ; 8]<\/li>\n      <li>Sur [8 ; 10], f reste \u2265 1 et atteint 4, donc une partie est aussi \u2264 2 ; on lit un intervalle [8 ; e<sub>2<\/sub>]<\/li>\n    <\/ul>\n    Les bornes exactes (c<sub>2<\/sub>, d<sub>2<\/sub>, e<sub>2<\/sub>) se d\u00e9terminent sur le graphique r\u00e9el.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 5 Fonctions usuelles et \u00e9tude de fonctions 1. Objectifs du chapitre Manipuler les fonctions usuelles (affine, carr\u00e9, inverse, racine, valeur absolue, polyn\u00f4mes simples). Lire et interpr\u00e9ter une fonction \u00e0 partir d\u2019un graphique ou d\u2019un tableau de valeurs. Construire des tableaux de variation simples et utiliser les notions de minimum \/ &#8230; <a title=\"Chapitre 5\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=381\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre 5\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-381","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/381","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=381"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/381\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":382,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/381\/revisions\/382"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=381"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=381"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=381"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}