{"id":383,"date":"2026-03-19T13:35:27","date_gmt":"2026-03-19T13:35:27","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=383"},"modified":"2026-03-19T13:35:27","modified_gmt":"2026-03-19T13:35:27","slug":"chapitre-6","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=383","title":{"rendered":"chapitre 6"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 6<\/h1>\n  <h2>D\u00e9rivation, tangente et \u00e9tude de fonctions<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    <li>Comprendre le <strong>taux de variation<\/strong> d\u2019une fonction sur un intervalle.<\/li>\n    <li>Introduire le <strong>nombre d\u00e9riv\u00e9<\/strong> en un point comme pente de la tangente.<\/li>\n    <li>Savoir calculer la <strong>fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> de fonctions usuelles simples.<\/li>\n    <li>Utiliser la d\u00e9riv\u00e9e pour \u00e9tablir un <strong>tableau de variations<\/strong> et r\u00e9soudre des probl\u00e8mes d\u2019optimisation.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 Taux de variation<\/h4>\n  <p>\n    Soit f une fonction d\u00e9finie sur un intervalle et a, b deux nombres de cet intervalle avec a \u2260 b.\n    Le <strong>taux de variation<\/strong> de f entre a et b est :\n  <\/p>\n  <p>\n    &tau;<sub>a,b<\/sub> = (f(b) \u2212 f(a)) \/ (b \u2212 a).\n  <\/p>\n  <p>\n    C\u2019est le coefficient directeur de la <strong>s\u00e9cante<\/strong> passant par les points (a ; f(a)) et (b ; f(b)).\n  <\/p>\n\n  <!-- COURBE 1 : exemple de taux de variation sur f(x)=x\u00b2 -->\n  <figure class=\"cours-figure\">\n    <img decoding=\"async\" src=\"COURBE_TAUX_VARIATION_x2.png\" alt=\"Courbe de y=x\u00b2 avec une s\u00e9cante entre x=a et x=b\">\n    <figcaption>\n      Exemple : pour f(x) = x\u00b2, le taux de variation entre a et b est la pente de la s\u00e9cante reliant\n      A(a ; a\u00b2) \u00e0 B(b ; b\u00b2).\n    <\/figcaption>\n  <\/figure>\n\n  <h4>2.2 Nombre d\u00e9riv\u00e9 et tangente (id\u00e9e)<\/h4>\n  <p>\n    On fait \u00ab rapprocher \u00bb b de a : si le taux de variation &tau;<sub>a,b<\/sub> se rapproche d\u2019un nombre r\u00e9el unique\n    quand b se rapproche de a, on dit que f est <strong>d\u00e9rivable<\/strong> en a.\n    Ce nombre limite est le <strong>nombre d\u00e9riv\u00e9<\/strong> de f en a, not\u00e9 f\u2032(a).\n  <\/p>\n  <p>\n    La <strong>tangente<\/strong> \u00e0 la courbe de f au point d\u2019abscisse a est la droite de pente f\u2032(a)\n    passant par (a ; f(a)), d\u2019\u00e9quation :\n  <\/p>\n  <p>\n    y = f(a) + f\u2032(a)(x \u2212 a).\n  <\/p>\n\n  <!-- COURBE 2 : tangente \u00e0 la courbe en x=a -->\n  <figure class=\"cours-figure\">\n    <img decoding=\"async\" src=\"COURBE_TANGENTE_x2.png\" alt=\"Tangente \u00e0 la courbe de y=x\u00b2 au point d'abscisse a\">\n    <figcaption>\n      Nombre d\u00e9riv\u00e9 et tangente : pour f(x)=x\u00b2, la tangente au point A(a ; a\u00b2) a pour pente f\u2032(a)=2a.\n    <\/figcaption>\n  <\/figure>\n\n  <h4>2.3 Fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/h4>\n  <p>\n    Quand f est d\u00e9rivable en tout point d\u2019un intervalle I, on d\u00e9finit la <strong>fonction d\u00e9riv\u00e9e<\/strong> f\u2032 sur I :\n    \u00e0 chaque x de I, on associe le nombre d\u00e9riv\u00e9 f\u2032(x).\n    La d\u00e9riv\u00e9e donne la <strong>pente de la tangente<\/strong> \u00e0 la courbe de f en chaque point.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 Formules de d\u00e9rivation usuelles<\/h4>\n  <p>\n    Pour tout r\u00e9el x o\u00f9 ces fonctions sont d\u00e9finies :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>(x\u00b2)\u2032 = 2x ;<\/li>\n    <li>(x\u00b3)\u2032 = 3x\u00b2 ;<\/li>\n    <li>(x<sup>n<\/sup>)\u2032 = n x<sup>n\u22121<\/sup> pour n entier \u2265 1 ;<\/li>\n    <li>(1\/x)\u2032 = \u22121\/x\u00b2 pour x \u2260 0 ;<\/li>\n    <li>(\u221ax)\u2032 = 1 \/ (2\u221ax) pour x &gt; 0 ;<\/li>\n    <li>Si f(x) = ax + b, alors f\u2032(x) = a ;<\/li>\n    <li>(u + v)\u2032 = u\u2032 + v\u2032 ;<\/li>\n    <li>(k\u00b7u)\u2032 = k\u00b7u\u2032 (k r\u00e9el) ;<\/li>\n    <li>(u\u00b7v)\u2032 = u\u2032\u00b7v + u\u00b7v\u2032 ;<\/li>\n    <li>(u\/v)\u2032 = (u\u2032v \u2212 uv\u2032) \/ v\u00b2, si v(x) \u2260 0.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <!-- COURBE 3 : exemple f(x)=x\u00b3-3x, effet de la d\u00e9riv\u00e9e sur la pente -->\n  <figure class=\"cours-figure\">\n    <img decoding=\"async\" src=\"COURBE_DERIVEE_EXEMPLE.png\" alt=\"Courbe d'une fonction et variation du signe de la d\u00e9riv\u00e9e\">\n    <figcaption>\n      Exemple : pour une fonction en forme de \u00ab S \u00bb, la d\u00e9riv\u00e9e est positive o\u00f9 la courbe monte,\n      n\u00e9gative o\u00f9 elle descend, nulle aux points o\u00f9 la tangente est horizontale.\n    <\/figcaption>\n  <\/figure>\n\n  <h4>2.5 Lien d\u00e9riv\u00e9e \/ variations<\/h4>\n  <p>\n    Soit f une fonction d\u00e9rivable sur un intervalle I.\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Si pour tout x dans I, f\u2032(x) \u2265 0 (et ne s\u2019annule qu\u2019en un nombre fini de points), alors f est <strong>croissante<\/strong> sur I.<\/li>\n    <li>Si pour tout x dans I, f\u2032(x) \u2264 0 (et ne s\u2019annule qu\u2019en un nombre fini de points), alors f est <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur I.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Les changements de signe de f\u2032 indiquent souvent des <strong>extremums<\/strong> de f (minimum ou maximum local).\n  <\/p>\n\n  <!-- COURBE 4 : courbe de f et tableau de variations align\u00e9 -->\n  <figure class=\"cours-figure\">\n    <img decoding=\"async\" src=\"COURBE_VARIATIONS_DERIVEE.png\" alt=\"Courbe de f et tableau de variations li\u00e9 au signe de f'\">\n    <figcaption>\n      Le signe de f\u2032 permet de construire le tableau de variations de f : f\u2032&gt;0 \u21d2 f cro\u00eet,\n      f\u2032&lt;0 \u21d2 f d\u00e9cro\u00eet.\n    <\/figcaption>\n  <\/figure>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Taux de variation<\/h4>\n  <p>\n    Soit f d\u00e9finie sur \u211d par f(x) = x\u00b2 \u2212 3x.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer le taux de variation de f entre 1 et 4.<\/li>\n    <li>Interpr\u00e9ter ce r\u00e9sultat g\u00e9om\u00e9triquement.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    f(1) = 1\u00b2 \u2212 3\u00d71 = \u22122 ; f(4) = 4\u00b2 \u2212 3\u00d74 = 16 \u2212 12 = 4.\n  <\/p>\n  <p>\n    &tau;<sub>1,4<\/sub> = (f(4) \u2212 f(1)) \/ (4 \u2212 1) = (4 \u2212 (\u22122)) \/ 3 = 6\/3 = 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    Le coefficient directeur de la s\u00e9cante passant par les points (1 ; \u22122) et (4 ; 4) vaut 2.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Calcul de d\u00e9riv\u00e9es simples<\/h4>\n  <p>\n    Calculer la fonction d\u00e9riv\u00e9e f\u2032 dans chacun des cas suivants :\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>a) f(x) = 3x\u00b2 \u2212 5x + 2<\/li>\n    <li>b) g(x) = 1\/x<\/li>\n    <li>c) h(x) = (x\u00b2 \u2212 1)(x + 2)<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) f(x) = 3x\u00b2 \u2212 5x + 2 \u21d2 f\u2032(x) = 6x \u2212 5.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) g(x) = x<sup>\u22121<\/sup> \u21d2 g\u2032(x) = \u22121\u00b7x<sup>\u22122<\/sup> = \u22121\/x\u00b2 (pour x \u2260 0).\n  <\/p>\n  <p>\n    c) h(x) = (x\u00b2 \u2212 1)(x + 2).\n    <br>h\u2032(x) = (2x)(x + 2) + (x\u00b2 \u2212 1)(1) = 2x(x + 2) + x\u00b2 \u2212 1.\n    <br>h\u2032(x) = 2x\u00b2 + 4x + x\u00b2 \u2212 1 = 3x\u00b2 + 4x \u2212 1.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Tangente en un point<\/h4>\n  <p>\n    Soit f d\u00e9finie sur \u211d par f(x) = x\u00b2 \u2212 4x + 1.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer f\u2032(x).<\/li>\n    <li>D\u00e9terminer le nombre d\u00e9riv\u00e9 f\u2032(2).<\/li>\n    <li>Donner une \u00e9quation de la tangente \u00e0 la courbe de f au point d\u2019abscisse 2.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. f(x) = x\u00b2 \u2212 4x + 1 \u21d2 f\u2032(x) = 2x \u2212 4.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. f\u2032(2) = 2\u00d72 \u2212 4 = 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. f(2) = 2\u00b2 \u2212 4\u00d72 + 1 = 4 \u2212 8 + 1 = \u22123.\n    <br>La tangente en x = 2 est horizontale (pente 0), d\u2019\u00e9quation : y = \u22123.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Variations d\u2019une fonction par la d\u00e9riv\u00e9e<\/h4>\n  <p>\n    Soit f d\u00e9finie sur \u211d par f(x) = x\u00b3 \u2212 3x\u00b2 + 2.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer f\u2032(x).<\/li>\n    <li>R\u00e9soudre f\u2032(x) = 0.<\/li>\n    <li>\u00c9tudier le signe de f\u2032(x) et dresser le tableau de variations de f.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. f(x) = x\u00b3 \u2212 3x\u00b2 + 2 \u21d2 f\u2032(x) = 3x\u00b2 \u2212 6x = 3x(x \u2212 2).\n  <\/p>\n  <p>\n    2. f\u2032(x) = 0 \u21d4 3x(x \u2212 2) = 0 \u21d4 x = 0 ou x = 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. Signe de f\u2032 :\n  <\/p>\n  <ul>\n    <li>Pour x &lt; 0 : x &lt; 0 et (x \u2212 2) &lt; 0 \u21d2 f\u2032(x) &gt; 0.<\/li>\n    <li>Pour 0 &lt; x &lt; 2 : x &gt; 0 et (x \u2212 2) &lt; 0 \u21d2 f\u2032(x) &lt; 0.<\/li>\n    <li>Pour x &gt; 2 : x &gt; 0 et (x \u2212 2) &gt; 0 \u21d2 f\u2032(x) &gt; 0.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Donc f est <strong>croissante<\/strong> sur (\u2212\u221e ; 0], <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur [0 ; 2],\n    puis <strong>croissante<\/strong> sur [2 ; +\u221e).\n  <\/p>\n  <p>\n    f(0) = 2, f(2) = 8 \u2212 12 + 2 = \u22122 :\n    <br>maximum local en x = 0 (valeur 2), minimum local en x = 2 (valeur \u22122).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Probl\u00e8me d\u2019optimisation<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re la fonction f d\u00e9finie sur [0 ; +\u221e) par f(x) = \u22122x\u00b2 + 8x + 3.\n  <\/p>\n  <ol>\n    <li>Calculer f\u2032(x).<\/li>\n    <li>R\u00e9soudre f\u2032(x) = 0.<\/li>\n    <li>\u00c9tudier le signe de f\u2032(x) et dresser le tableau de variations de f sur [0 ; +\u221e).<\/li>\n    <li>En d\u00e9duire la valeur de x qui maximise f(x) et la valeur maximale.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. f(x) = \u22122x\u00b2 + 8x + 3 \u21d2 f\u2032(x) = \u22124x + 8.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. f\u2032(x) = 0 \u21d4 \u22124x + 8 = 0 \u21d4 x = 2.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. Pour x &lt; 2, f\u2032(x) &gt; 0 ; pour x &gt; 2, f\u2032(x) &lt; 0 :\n    f est <strong>croissante<\/strong> sur [0 ; 2] puis <strong>d\u00e9croissante<\/strong> sur [2 ; +\u221e).\n  <\/p>\n  <p>\n    4. f(2) = \u22122\u00d72\u00b2 + 8\u00d72 + 3 = \u22128 + 16 + 3 = 11.\n    <br>La fonction atteint un <strong>maximum<\/strong> \u00e9gal \u00e0 11 pour x = 2.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 6 D\u00e9rivation, tangente et \u00e9tude de fonctions 1. Objectifs du chapitre Comprendre le taux de variation d\u2019une fonction sur un intervalle. Introduire le nombre d\u00e9riv\u00e9 en un point comme pente de la tangente. Savoir calculer la fonction d\u00e9riv\u00e9e de fonctions usuelles simples. Utiliser la d\u00e9riv\u00e9e pour \u00e9tablir un tableau de &#8230; <a title=\"chapitre 6\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=383\" aria-label=\"En savoir plus sur chapitre 6\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-383","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=383"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":384,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/383\/revisions\/384"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=383"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=383"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=383"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}