{"id":385,"date":"2026-03-22T19:53:09","date_gmt":"2026-03-22T19:53:09","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=385"},"modified":"2026-03-22T19:53:10","modified_gmt":"2026-03-22T19:53:10","slug":"chapitre7","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=385","title":{"rendered":"Chapitre7"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 7<\/h1>\n  <h2>Fonction exponentielle<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    &gt;Comprendre la <strong>fonction exponentielle<\/strong> comme fonction r\u00e9ciproque du logarithme naturel.<\/li>\n    &gt;Conna\u00eetre les <strong>propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques<\/strong> et les <strong>propri\u00e9t\u00e9s de variation<\/strong> de l&rsquo;exponentielle.<\/li>\n    &gt;Savoir <strong>d\u00e9river<\/strong> la fonction exponentielle et r\u00e9soudre des \u00e9quations\/in\u00e9quations.<\/li>\n    &gt;Mod\u00e9liser des ph\u00e9nom\u00e8nes de <strong>croissance ou d\u00e9croissance exponentielle<\/strong> (population, radioactivit\u00e9, \u00e9pid\u00e9miologie, etc.).<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 D\u00e9finition et notation<\/h4>\n  <p>\n    La <strong>fonction exponentielle<\/strong>, not\u00e9e exp(x) ou e<sup>x<\/sup>, est l&rsquo;unique fonction d\u00e9finie sur \u211d telle que :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;exp\u2032(x) = exp(x) (sa d\u00e9riv\u00e9e est \u00e9gale \u00e0 elle-m\u00eame) ;<\/li>\n    &gt;exp(0) = 1.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    On note e \u2248 2,718 le nombre tel que exp(1) = e.\n  <\/p>\n  <p>\n    Donc : exp(x) = e<sup>x<\/sup>.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.2 Propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques<\/h4>\n  <p>\n    Pour tous r\u00e9els x, y :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> \u00b7 e<sup>y<\/sup> = e<sup>x+y<\/sup> ;<\/li>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> \/ e<sup>y<\/sup> = e<sup>x\u2212y<\/sup> ;<\/li>\n    &gt;(e<sup>x<\/sup>)<sup>n<\/sup> = e<sup>nx<\/sup> pour tout entier n ;<\/li>\n    &gt;1 \/ e<sup>x<\/sup> = e<sup>\u2212x<\/sup> ;<\/li>\n    &gt;e<sup>0<\/sup> = 1 ;<\/li>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> &gt; 0 pour tout x r\u00e9el.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.3 Variation et signe<\/h4>\n  <p>\n    La fonction exp est <strong>strictement croissante<\/strong> sur \u211d.\n  <\/p>\n  <p>\n    Pour tous x, y r\u00e9els :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;x &lt; y \u21d4 e<sup>x<\/sup> &lt; e<sup>y<\/sup> ;<\/li>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> = e<sup>y<\/sup> \u21d4 x = y.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    De plus, e<sup>x<\/sup> &gt; 0 pour tout x r\u00e9el (la courbe reste toujours au-dessus de l&rsquo;axe des abscisses).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 D\u00e9rivation<\/h4>\n  <p>\n    La d\u00e9riv\u00e9e de f(x) = e<sup>x<\/sup> est f\u2032(x) = e<sup>x<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    Plus g\u00e9n\u00e9ralement, si g(x) = e<sup>u(x)<\/sup>, alors g\u2032(x) = u\u2032(x) \u00b7 e<sup>u(x)<\/sup> (r\u00e8gle de la cha\u00eene).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.5 R\u00e9solution d&rsquo;\u00e9quations et d&rsquo;in\u00e9quations<\/h4>\n  <p>\n    <strong>\u00c9quations exponentielles<\/strong> : puisque exp est strictement croissante et bijective,\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> = a \u21d4 x = ln(a), si a &gt; 0 (o\u00f9 ln est le logarithme naturel) ;<\/li>\n    &gt;e<sup>f(x)<\/sup> = e<sup>g(x)<\/sup> \u21d4 f(x) = g(x).<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    <strong>In\u00e9quations exponentielles<\/strong> : puisque exp est croissante,\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> &gt; a \u21d4 x &gt; ln(a), si a &gt; 0 ;<\/li>\n    &gt;e<sup>x<\/sup> &lt; a \u21d4 x &lt; ln(a), si a &gt; 0.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.6 Mod\u00e9lisations exponentielles<\/h4>\n  <p>\n    La fonction exponentielle mod\u00e9lise des ph\u00e9nom\u00e8nes o\u00f9 la <strong>variation est proportionnelle \u00e0 la valeur actuelle<\/strong> :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;<strong>Croissance exponentielle<\/strong> (population, capital, \u00e9pid\u00e9mie) : N(t) = N<sub>0<\/sub> \u00b7 e<sup>kt<\/sup>, avec k &gt; 0 ;<\/li>\n    &gt;<strong>D\u00e9croissance exponentielle<\/strong> (radioactivit\u00e9, refroidissement) : N(t) = N<sub>0<\/sub> \u00b7 e<sup>\u2212kt<\/sup>, avec k &gt; 0.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    o\u00f9 N<sub>0<\/sub> est la valeur initiale et k est un coefficient de croissance\/d\u00e9croissance.\n  <\/p>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Propri\u00e9t\u00e9s alg\u00e9briques<\/h4>\n  <p>\n    Simplifier les expressions suivantes :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) e<sup>3<\/sup> \u00b7 e<sup>2<\/sup><\/li>\n    &gt;b) e<sup>5<\/sup> \/ e<sup>2<\/sup><\/li>\n    &gt;c) (e<sup>2<\/sup>)<sup>3<\/sup><\/li>\n    &gt;d) e<sup>\u22122<\/sup> \u00b7 e<sup>5<\/sup><\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) e<sup>3<\/sup> \u00b7 e<sup>2<\/sup> = e<sup>3+2<\/sup> = e<sup>5<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) e<sup>5<\/sup> \/ e<sup>2<\/sup> = e<sup>5\u22122<\/sup> = e<sup>3<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    c) (e<sup>2<\/sup>)<sup>3<\/sup> = e<sup>2\u00d73<\/sup> = e<sup>6<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    d) e<sup>\u22122<\/sup> \u00b7 e<sup>5<\/sup> = e<sup>\u22122+5<\/sup> = e<sup>3<\/sup>.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 R\u00e9soudre une \u00e9quation exponentielle<\/h4>\n  <p>\n    R\u00e9soudre dans \u211d les \u00e9quations suivantes (on utilisera le fait que e<sup>x<\/sup> = a \u21d4 x = ln(a) si a &gt; 0) :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) e<sup>x<\/sup> = 1<\/li>\n    &gt;b) e<sup>2x<\/sup> = e<sup>5<\/sup><\/li>\n    &gt;c) e<sup>x<\/sup> = 3<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) e<sup>x<\/sup> = 1 = e<sup>0<\/sup> \u21d2 x = 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) e<sup>2x<\/sup> = e<sup>5<\/sup> \u21d2 2x = 5 \u21d2 x = 5\/2 = 2,5.\n  <\/p>\n  <p>\n    c) e<sup>x<\/sup> = 3 \u21d2 x = ln(3) \u2248 1,099.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 D\u00e9rivation de l&rsquo;exponentielle<\/h4>\n  <p>\n    Calculer la d\u00e9riv\u00e9e f\u2032(x) pour chacune des fonctions suivantes :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) f(x) = e<sup>x<\/sup><\/li>\n    &gt;b) g(x) = e<sup>2x<\/sup><\/li>\n    &gt;c) h(x) = x \u00b7 e<sup>x<\/sup><\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) f(x) = e<sup>x<\/sup> \u21d2 f\u2032(x) = e<sup>x<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) g(x) = e<sup>2x<\/sup>. Posons u(x) = 2x, alors u\u2032(x) = 2.\n    <br>g\u2032(x) = u\u2032(x) \u00b7 e<sup>u(x)<\/sup> = 2 \u00b7 e<sup>2x<\/sup>.\n  <\/p>\n  <p>\n    c) h(x) = x \u00b7 e<sup>x<\/sup>. Utilisons la formule (u\u00b7v)\u2032 = u\u2032\u00b7v + u\u00b7v\u2032 :\n    <br>h\u2032(x) = 1 \u00b7 e<sup>x<\/sup> + x \u00b7 e<sup>x<\/sup> = e<sup>x<\/sup>(1 + x).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 In\u00e9quation exponentielle<\/h4>\n  <p>\n    R\u00e9soudre les in\u00e9quations suivantes :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) e<sup>x<\/sup> &gt; 1<\/li>\n    &gt;b) e<sup>x<\/sup> \u2264 2<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) e<sup>x<\/sup> &gt; 1 = e<sup>0<\/sup>.\n    <br>Puisque exp est croissante : e<sup>x<\/sup> &gt; e<sup>0<\/sup> \u21d2 x &gt; 0.\n    <br>Solution : x \u2208 (0 ; +\u221e).\n  <\/p>\n  <p>\n    b) e<sup>x<\/sup> \u2264 2.\n    <br>e<sup>x<\/sup> \u2264 2 \u21d2 x \u2264 ln(2) \u2248 0,693.\n    <br>Solution : x \u2208 (\u2212\u221e ; ln(2)].\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Mod\u00e9lisation : croissance exponentielle (population)<\/h4>\n  <p>\n    Une population de bact\u00e9ries suit une loi de croissance exponentielle. \u00c0 t = 0 (d\u00e9but de l&rsquo;observation),\n    il y a N<sub>0<\/sub> = 1 000 bact\u00e9ries. Le nombre de bact\u00e9ries double toutes les 2 heures.\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;Exprimer N(t) en fonction de t (en heures).<\/li>\n    &gt;Combien de bact\u00e9ries y a-t-il apr\u00e8s 6 heures&nbsp;?<\/li>\n    &gt;Apr\u00e8s combien de temps le nombre de bact\u00e9ries aura-t-il d\u00e9cupl\u00e9&nbsp;?<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. Le nombre double toutes les 2 heures : N(t) = N<sub>0<\/sub> \u00b7 2<sup>t\/2<\/sup>.\n    <br>On peut aussi \u00e9crire : N(t) = 1&nbsp;000 \u00b7 2<sup>t\/2<\/sup>.\n    <br>Ou sous forme exponentielle : 2 = e<sup>ln(2)<\/sup>, donc 2<sup>t\/2<\/sup> = e<sup>(t\/2)\u00b7ln(2)<\/sup>.\n    <br>Ainsi : N(t) = 1&nbsp;000 \u00b7 e<sup>t\u00b7ln(2)\/2<\/sup> = 1&nbsp;000 \u00b7 e<sup>k\u00b7t<\/sup>, o\u00f9 k = ln(2)\/2 \u2248 0,347.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. Apr\u00e8s 6 heures : N(6) = 1&nbsp;000 \u00b7 2<sup>6\/2<\/sup> = 1&nbsp;000 \u00b7 2<sup>3<\/sup> = 1&nbsp;000 \u00b7 8 = 8&nbsp;000 bact\u00e9ries.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. On cherche t tel que N(t) = 10 \u00b7 N<sub>0<\/sub> = 10&nbsp;000.\n    <br>1&nbsp;000 \u00b7 2<sup>t\/2<\/sup> = 10&nbsp;000 \u21d2 2<sup>t\/2<\/sup> = 10 \u21d2 t\/2 = log<sub>2<\/sub>(10) = ln(10) \/ ln(2).\n    <br>t = 2 \u00b7 ln(10) \/ ln(2) \u2248 2 \u00b7 3,322 \/ 0,693 \u2248 9,6 heures.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 7 Fonction exponentielle 1. 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