{"id":387,"date":"2026-03-22T19:55:22","date_gmt":"2026-03-22T19:55:22","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=387"},"modified":"2026-03-22T19:55:22","modified_gmt":"2026-03-22T19:55:22","slug":"chapitre8","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=387","title":{"rendered":"Chapitre8"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 8<\/h1>\n  <h2>G\u00e9om\u00e9trie vectorielle dans le plan<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    &gt;Comprendre la notion de <strong>vecteur<\/strong> et ses repr\u00e9sentations.<\/li>\n    &gt;Ma\u00eetriser les <strong>op\u00e9rations sur les vecteurs<\/strong> (addition, multiplication par un scalaire).<\/li>\n    &gt;Utiliser les <strong>coordonn\u00e9es de vecteurs<\/strong> dans un rep\u00e8re.<\/li>\n    &gt;Reconna\u00eetre la <strong>colin\u00e9arit\u00e9<\/strong> de deux vecteurs et l&rsquo;<strong>alignement<\/strong> de trois points.<\/li>\n    &gt;\u00c9tudier les <strong>droites du plan<\/strong> via des vecteurs directeurs et des \u00e9quations param\u00e9triques.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 Notion de vecteur<\/h4>\n  <p>\n    Un <strong>vecteur<\/strong> est d\u00e9fini par :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;une <strong>direction<\/strong> (la droite qui le porte) ;<\/li>\n    &gt;un <strong>sens<\/strong> (de A vers B, par exemple) ;<\/li>\n    &gt;une <strong>longueur<\/strong> (ou norme) not\u00e9e ||\u20d7u|| ou |\u20d7u|.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    On note un vecteur avec une fl\u00e8che : \u20d7u, \u20d7AB, etc.\n  <\/p>\n  <p>\n    Le vecteur \u20d7AB va du point A (origine) vers le point B (extr\u00e9mit\u00e9).\n  <\/p>\n  <p>\n    Deux vecteurs sont <strong>\u00e9gaux<\/strong> s&rsquo;ils ont m\u00eame direction, m\u00eame sens et m\u00eame longueur.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.2 Op\u00e9rations sur les vecteurs<\/h4>\n\n  <h5>a) Addition de deux vecteurs<\/h5>\n  <p>\n    La <strong>somme<\/strong> de deux vecteurs \u20d7u et \u20d7v, not\u00e9e \u20d7u + \u20d7v, se construit par la <strong>r\u00e8gle du parall\u00e9logramme<\/strong>\n    ou la <strong>r\u00e8gle du triangle<\/strong> :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;On trace \u20d7u \u00e0 partir d&rsquo;un point O, on obtient le point A tel que \u20d7OA = \u20d7u.<\/li>\n    &gt;\u00c0 partir de A, on trace \u20d7v, on obtient le point B tel que \u20d7AB = \u20d7v.<\/li>\n    &gt;Alors \u20d7OB = \u20d7u + \u20d7v.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h5>b) Multiplication par un scalaire (nombre r\u00e9el)<\/h5>\n  <p>\n    Soit k un nombre r\u00e9el et \u20d7u un vecteur. Le <strong>produit<\/strong> k\u20d7u est un vecteur tel que :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;m\u00eame direction que \u20d7u ;<\/li>\n    &gt;||k\u20d7u|| = |k| \u00b7 ||\u20d7u|| ;<\/li>\n    &gt;m\u00eame sens que \u20d7u si k &gt; 0, sens oppos\u00e9 si k &lt; 0.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.3 Coordonn\u00e9es de vecteurs<\/h4>\n  <p>\n    Dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9 (O ; \u20d7i, \u20d7j), tout vecteur \u20d7u s&rsquo;\u00e9crit de fa\u00e7on unique :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7u = x\u20d7i + y\u20d7j,\n  <\/p>\n  <p>\n    o\u00f9 x et y sont appel\u00e9es <strong>coordonn\u00e9es<\/strong> de \u20d7u. On note \u20d7u = (x ; y) ou \u20d7u = (x, y).\n  <\/p>\n  <p>\n    Si A(x<sub>A<\/sub> ; y<sub>A<\/sub>) et B(x<sub>B<\/sub> ; y<sub>B<\/sub>) sont deux points, alors :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7AB = (x<sub>B<\/sub> \u2212 x<sub>A<\/sub> ; y<sub>B<\/sub> \u2212 y<sub>A<\/sub>).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.4 Op\u00e9rations en coordonn\u00e9es<\/h4>\n  <p>\n    Si \u20d7u = (x ; y) et \u20d7v = (x\u2032 ; y\u2032) sont deux vecteurs et k est un r\u00e9el :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;\u20d7u + \u20d7v = (x + x\u2032 ; y + y\u2032) ;<\/li>\n    &gt;k\u20d7u = (kx ; ky) ;<\/li>\n    &gt;||\u20d7u|| = \u221a(x\u00b2 + y\u00b2) (norme euclidienne) ;<\/li>\n    &gt;\u20d7u = \u20d70 (vecteur nul) \u21d4 x = 0 et y = 0.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.5 Colin\u00e9arit\u00e9 de deux vecteurs<\/h4>\n  <p>\n    Deux vecteurs \u20d7u et \u20d7v sont <strong>colin\u00e9aires<\/strong> s&rsquo;il existe un nombre r\u00e9el k tel que \u20d7v = k\u20d7u\n    (ou \u20d7u = k\u20d7v). Cela signifie qu&rsquo;ils ont la m\u00eame direction.\n  <\/p>\n  <p>\n    En coordonn\u00e9es, \u20d7u = (x ; y) et \u20d7v = (x\u2032 ; y\u2032) sont colin\u00e9aires si et seulement si :\n  <\/p>\n  <p>\n    xy\u2032 \u2212 yx\u2032 = 0,\n  <\/p>\n  <p>\n    c&rsquo;est-\u00e0-dire le <strong>d\u00e9terminant<\/strong> vaut z\u00e9ro.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.6 Alignement de trois points<\/h4>\n  <p>\n    Trois points A, B, C sont <strong>align\u00e9s<\/strong> si et seulement si les vecteurs \u20d7AB et \u20d7AC sont colin\u00e9aires,\n    c&rsquo;est-\u00e0-dire si le d\u00e9terminant des coordonn\u00e9es de \u20d7AB et \u20d7AC vaut z\u00e9ro.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.7 \u00c9quation de droite<\/h4>\n  <p>\n    Une droite peut \u00eatre d\u00e9crite par :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;un <strong>point<\/strong> A et un <strong>vecteur directeur<\/strong> \u20d7u (non nul) ;<\/li>\n    &gt;ou deux points distincts A et B, le vecteur directeur \u00e9tant alors \u20d7AB.<\/li>\n  <\/ul>\n  <p>\n    Une <strong>\u00e9quation param\u00e9trique<\/strong> de la droite passant par A(x<sub>0<\/sub> ; y<sub>0<\/sub>) et de vecteur directeur \u20d7u = (a ; b) est :\n  <\/p>\n  <p>\n    x = x<sub>0<\/sub> + ta<br>\n    y = y<sub>0<\/sub> + tb\n  <\/p>\n  <p>\n    o\u00f9 t est un param\u00e8tre r\u00e9el.\n  <\/p>\n  <p>\n    Une <strong>\u00e9quation cart\u00e9sienne<\/strong> de droite a la forme : ax + by + c = 0 (a et b non tous les deux nuls).\n  <\/p>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Coordonn\u00e9es de vecteurs<\/h4>\n  <p>\n    Dans un rep\u00e8re, on donne les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5).\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;Calculer les coordonn\u00e9es du vecteur \u20d7AB.<\/li>\n    &gt;Calculer les coordonn\u00e9es du vecteur \u20d7AC.<\/li>\n    &gt;Calculer \u20d7AB + \u20d7AC.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. \u20d7AB = (x<sub>B<\/sub> \u2212 x<sub>A<\/sub> ; y<sub>B<\/sub> \u2212 y<sub>A<\/sub>) = (4 \u2212 1 ; 3 \u2212 2) = (3 ; 1).\n  <\/p>\n  <p>\n    2. \u20d7AC = (2 \u2212 1 ; 5 \u2212 2) = (1 ; 3).\n  <\/p>\n  <p>\n    3. \u20d7AB + \u20d7AC = (3 + 1 ; 1 + 3) = (4 ; 4).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Multiplication par un scalaire<\/h4>\n  <p>\n    Soit \u20d7u = (2 ; \u22123).\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;Calculer 2\u20d7u.<\/li>\n    &gt;Calculer \u2212\u20d7u.<\/li>\n    &gt;Calculer ||\u20d7u||.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. 2\u20d7u = (2\u00d72 ; 2\u00d7(\u22123)) = (4 ; \u22126).\n  <\/p>\n  <p>\n    2. \u2212\u20d7u = (\u22122 ; 3).\n  <\/p>\n  <p>\n    3. ||\u20d7u|| = \u221a(2\u00b2 + (\u22123)\u00b2) = \u221a(4 + 9) = \u221a13 \u2248 3,606.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Colin\u00e9arit\u00e9 de vecteurs<\/h4>\n  <p>\n    Dire si les vecteurs suivants sont colin\u00e9aires :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) \u20d7u = (2 ; 4) et \u20d7v = (3 ; 6)<\/li>\n    &gt;b) \u20d7u = (1 ; 2) et \u20d7v = (2 ; 3)<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    Deux vecteurs \u20d7u = (x ; y) et \u20d7v = (x\u2032 ; y\u2032) sont colin\u00e9aires ssi xy\u2032 \u2212 yx\u2032 = 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    a) \u20d7u = (2 ; 4), \u20d7v = (3 ; 6) : d\u00e9terminant = 2\u00d76 \u2212 4\u00d73 = 12 \u2212 12 = 0.\n    <br>Les vecteurs sont <strong>colin\u00e9aires<\/strong>. (On peut v\u00e9rifier : \u20d7v = 1,5\u20d7u.)\n  <\/p>\n  <p>\n    b) \u20d7u = (1 ; 2), \u20d7v = (2 ; 3) : d\u00e9terminant = 1\u00d73 \u2212 2\u00d72 = 3 \u2212 4 = \u22121 \u2260 0.\n    <br>Les vecteurs ne sont <strong>pas colin\u00e9aires<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Alignement de trois points<\/h4>\n  <p>\n    D\u00e9terminer si les points A(0 ; 1), B(2 ; 3) et C(4 ; 5) sont align\u00e9s.\n  <\/p>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    \u20d7AB = (2 \u2212 0 ; 3 \u2212 1) = (2 ; 2).\n    <br>\u20d7AC = (4 \u2212 0 ; 5 \u2212 1) = (4 ; 4).\n  <\/p>\n  <p>\n    D\u00e9terminant : 2\u00d74 \u2212 2\u00d74 = 8 \u2212 8 = 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7AB et \u20d7AC sont colin\u00e9aires, donc les trois points <strong>sont align\u00e9s<\/strong>.\n    <br>(On v\u00e9rifie aussi que \u20d7AC = 2\u20d7AB.)\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 \u00c9quation param\u00e9trique d&rsquo;une droite<\/h4>\n  <p>\n    Soit la droite passant par le point A(1 ; 2) et ayant pour vecteur directeur \u20d7u = (3 ; 2).\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;\u00c9crire une \u00e9quation param\u00e9trique de la droite.<\/li>\n    &gt;D\u00e9terminer si le point P(4 ; 4) appartient \u00e0 cette droite.<\/li>\n    &gt;D\u00e9terminer si le point Q(7 ; 5) appartient \u00e0 cette droite.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. \u00c9quation param\u00e9trique :\n    <br>x = 1 + 3t\n    <br>y = 2 + 2t\n    <br>o\u00f9 t \u2208 \u211d.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. P(4 ; 4) appartient \u00e0 la droite ssi il existe t tel que 4 = 1 + 3t et 4 = 2 + 2t.\n    <br>De la premi\u00e8re \u00e9quation : 3t = 3 \u21d2 t = 1.\n    <br>De la deuxi\u00e8me \u00e9quation : 2t = 2 \u21d2 t = 1.\n    <br>Les deux \u00e9quations donnent t = 1, donc <strong>P appartient \u00e0 la droite<\/strong>.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. Q(7 ; 5) : 7 = 1 + 3t \u21d2 3t = 6 \u21d2 t = 2.\n    <br>5 = 2 + 2t \u21d2 2t = 3 \u21d2 t = 1,5.\n    <br>Les deux \u00e9quations donnent des valeurs diff\u00e9rentes de t, donc <strong>Q n&rsquo;appartient pas \u00e0 la droite<\/strong>.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 8 G\u00e9om\u00e9trie vectorielle dans le plan 1. Objectifs du chapitre &gt;Comprendre la notion de vecteur et ses repr\u00e9sentations. &gt;Ma\u00eetriser les op\u00e9rations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire). &gt;Utiliser les coordonn\u00e9es de vecteurs dans un rep\u00e8re. &gt;Reconna\u00eetre la colin\u00e9arit\u00e9 de deux vecteurs et l&rsquo;alignement de trois points. &gt;\u00c9tudier les &#8230; <a title=\"Chapitre8\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=387\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre8\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-387","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/387","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=387"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/387\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":388,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/387\/revisions\/388"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=387"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=387"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=387"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}