{"id":389,"date":"2026-03-22T20:01:30","date_gmt":"2026-03-22T20:01:30","guid":{"rendered":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=389"},"modified":"2026-03-22T20:01:30","modified_gmt":"2026-03-22T20:01:30","slug":"chapitre-9","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/pratiquement.com\/?p=389","title":{"rendered":"Chapitre 9"},"content":{"rendered":"\n<article>\n  <h1>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 9<\/h1>\n  <h2>Produit scalaire dans le plan<\/h2>\n\n  <h3>1. Objectifs du chapitre<\/h3>\n  <ul>\n    &gt;Comprendre la notion de <strong>produit scalaire<\/strong> entre deux vecteurs.<\/li>\n    &gt;Conna\u00eetre les diff\u00e9rentes <strong>expressions du produit scalaire<\/strong> (alg\u00e9brique, g\u00e9om\u00e9trique, via coordonn\u00e9es).<\/li>\n    &gt;Appliquer le produit scalaire \u00e0 la <strong>caract\u00e9risation de l&rsquo;orthogonalit\u00e9<\/strong>.<\/li>\n    &gt;Utiliser le produit scalaire pour <strong>calculer des distances<\/strong> et des <strong>angles<\/strong>.<\/li>\n    &gt;Exploiter le produit scalaire dans des <strong>probl\u00e8mes g\u00e9om\u00e9triques<\/strong>.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h3>2. Cours<\/h3>\n\n  <h4>2.1 D\u00e9finition du produit scalaire<\/h4>\n  <p>\n    Soit \u20d7u et \u20d7v deux vecteurs du plan. Le <strong>produit scalaire<\/strong> de \u20d7u et \u20d7v, not\u00e9 \u20d7u \u00b7 \u20d7v,\n    est le nombre r\u00e9el d\u00e9fini par :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7u \u00b7 \u20d7v = ||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v|| \u00b7 cos(\u03b8),\n  <\/p>\n  <p>\n    o\u00f9 \u03b8 est l&rsquo;angle entre les deux vecteurs (angle compris entre 0 et \u03c0).\n  <\/p>\n  <p>\n    Cas particuliers :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;Si \u20d7u et \u20d7v sont dans le m\u00eame sens, \u03b8 = 0 et cos(0) = 1, donc \u20d7u \u00b7 \u20d7v = ||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v|| ;<\/li>\n    &gt;si \u20d7u et \u20d7v sont perpendiculaires, \u03b8 = \u03c0\/2 et cos(\u03c0\/2) = 0, donc \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 0 ;<\/li>\n    &gt;si \u20d7u et \u20d7v sont dans des sens oppos\u00e9s, \u03b8 = \u03c0 et cos(\u03c0) = \u22121, donc \u20d7u \u00b7 \u20d7v = \u2212||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v||.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.2 Produit scalaire en coordonn\u00e9es<\/h4>\n  <p>\n    Dans un rep\u00e8re orthonorm\u00e9, si \u20d7u = (x ; y) et \u20d7v = (x\u2032 ; y\u2032), alors :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7u \u00b7 \u20d7v = xx\u2032 + yy\u2032.\n  <\/p>\n  <p>\n    C&rsquo;est la <strong>formule alg\u00e9brique<\/strong> du produit scalaire, la plus facile \u00e0 utiliser en calculs.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.3 Propri\u00e9t\u00e9s du produit scalaire<\/h4>\n  <p>\n    Pour tous vecteurs \u20d7u, \u20d7v, \u20d7w et tout nombre r\u00e9el k :\n  <\/p>\n  <ul>\n    &gt;\u20d7u \u00b7 \u20d7v = \u20d7v \u00b7 \u20d7u (commutativit\u00e9) ;<\/li>\n    &gt;(k\u20d7u) \u00b7 \u20d7v = k(\u20d7u \u00b7 \u20d7v) ;<\/li>\n    &gt;\u20d7u \u00b7 (\u20d7v + \u20d7w) = \u20d7u \u00b7 \u20d7v + \u20d7u \u00b7 \u20d7w (distributivit\u00e9) ;<\/li>\n    &gt;\u20d7u \u00b7 \u20d7u = ||\u20d7u||\u00b2 ;<\/li>\n    &gt;(\u20d7u + \u20d7v) \u00b7 (\u20d7u + \u20d7v) = ||\u20d7u||\u00b2 + 2\u20d7u \u00b7 \u20d7v + ||\u20d7v||\u00b2 ;<\/li>\n    &gt;(\u20d7u + \u20d7v) \u00b7 (\u20d7u \u2212 \u20d7v) = ||\u20d7u||\u00b2 \u2212 ||\u20d7v||\u00b2.<\/li>\n  <\/ul>\n\n  <h4>2.4 Orthogonalit\u00e9 et perpendiculairit\u00e9<\/h4>\n  <p>\n    Deux vecteurs \u20d7u et \u20d7v sont <strong>orthogonaux<\/strong> (ou perpendiculaires) si et seulement si :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    En coordonn\u00e9es, \u20d7u = (x ; y) et \u20d7v = (x\u2032 ; y\u2032) sont orthogonaux ssi :\n  <\/p>\n  <p>\n    xx\u2032 + yy\u2032 = 0.\n  <\/p>\n\n  <h4>2.5 Calcul d&rsquo;un angle entre deux vecteurs<\/h4>\n  <p>\n    Si \u20d7u et \u20d7v sont deux vecteurs non nuls, l&rsquo;angle \u03b8 entre eux satisfait :\n  <\/p>\n  <p>\n    cos(\u03b8) = (\u20d7u \u00b7 \u20d7v) \/ (||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v||).\n  <\/p>\n  <p>\n    Donc :\n  <\/p>\n  <p>\n    \u03b8 = arccos((\u20d7u \u00b7 \u20d7v) \/ (||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v||)).\n  <\/p>\n\n  <h4>2.6 Application aux distances<\/h4>\n  <p>\n    La distance entre deux points A(x<sub>A<\/sub> ; y<sub>A<\/sub>) et B(x<sub>B<\/sub> ; y<sub>B<\/sub>) est :\n  <\/p>\n  <p>\n    AB = ||\u20d7AB|| = \u221a((x<sub>B<\/sub> \u2212 x<sub>A<\/sub>)\u00b2 + (y<sub>B<\/sub> \u2212 y<sub>A<\/sub>)\u00b2).\n  <\/p>\n  <p>\n    On peut aussi utiliser : AB\u00b2 = \u20d7AB \u00b7 \u20d7AB.\n  <\/p>\n\n  <hr>\n\n  <h3>3. Exercices corrig\u00e9s<\/h3>\n\n  <h4>Exercice 1 \u2013 Produit scalaire en coordonn\u00e9es<\/h4>\n  <p>\n    Calculer le produit scalaire \u20d7u \u00b7 \u20d7v dans chacun des cas suivants :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) \u20d7u = (2 ; 3) et \u20d7v = (1 ; 2)<\/li>\n    &gt;b) \u20d7u = (\u22121 ; 4) et \u20d7v = (2 ; 3)<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    a) \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 2\u00d71 + 3\u00d72 = 2 + 6 = 8.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) \u20d7u \u00b7 \u20d7v = (\u22121)\u00d72 + 4\u00d73 = \u22122 + 12 = 10.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 2 \u2013 Orthogonalit\u00e9<\/h4>\n  <p>\n    D\u00e9terminer si les vecteurs \u20d7u et \u20d7v sont orthogonaux :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) \u20d7u = (3 ; 2) et \u20d7v = (\u22122 ; 3)<\/li>\n    &gt;b) \u20d7u = (1 ; 2) et \u20d7v = (2 ; 4)<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire vaut 0.\n  <\/p>\n  <p>\n    a) \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 3\u00d7(\u22122) + 2\u00d73 = \u22126 + 6 = 0.\n    <br>Les vecteurs <strong>sont orthogonaux<\/strong>.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 1\u00d72 + 2\u00d74 = 2 + 8 = 10 \u2260 0.\n    <br>Les vecteurs <strong>ne sont pas orthogonaux<\/strong>.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 3 \u2013 Norme d&rsquo;un vecteur<\/h4>\n  <p>\n    Calculer la norme (longueur) des vecteurs suivants :\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;a) \u20d7u = (3 ; 4)<\/li>\n    &gt;b) \u20d7v = (\u22121 ; 2)<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    ||\u20d7u|| = \u221a(\u20d7u \u00b7 \u20d7u) = \u221a(x\u00b2 + y\u00b2).\n  <\/p>\n  <p>\n    a) ||\u20d7u|| = \u221a(3\u00b2 + 4\u00b2) = \u221a(9 + 16) = \u221a25 = 5.\n  <\/p>\n  <p>\n    b) ||\u20d7v|| = \u221a((\u22121)\u00b2 + 2\u00b2) = \u221a(1 + 4) = \u221a5 \u2248 2,236.\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 4 \u2013 Calcul d&rsquo;un angle<\/h4>\n  <p>\n    D\u00e9terminer l&rsquo;angle \u03b8 (en degr\u00e9s, arrondi au dixi\u00e8me) entre les vecteurs \u20d7u = (1 ; 0) et \u20d7v = (1 ; 1).\n  <\/p>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    \u20d7u \u00b7 \u20d7v = 1\u00d71 + 0\u00d71 = 1.\n    <br>||\u20d7u|| = \u221a(1\u00b2 + 0\u00b2) = 1.\n    <br>||\u20d7v|| = \u221a(1\u00b2 + 1\u00b2) = \u221a2 \u2248 1,414.\n  <\/p>\n  <p>\n    cos(\u03b8) = (\u20d7u \u00b7 \u20d7v) \/ (||\u20d7u|| \u00b7 ||\u20d7v||) = 1 \/ (1 \u00d7 \u221a2) = 1\/\u221a2 = \u221a2\/2 \u2248 0,707.\n  <\/p>\n  <p>\n    \u03b8 = arccos(\u221a2\/2) = 45\u00b0 (ou \u03c0\/4 radians).\n  <\/p>\n\n  <h4>Exercice 5 \u2013 Distance et produit scalaire<\/h4>\n  <p>\n    On consid\u00e8re les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5).\n  <\/p>\n  <ol>\n    &gt;Calculer la distance AB.<\/li>\n    &gt;Calculer la distance AC.<\/li>\n    &gt;Calculer \u20d7AB \u00b7 \u20d7AC.<\/li>\n    &gt;En d\u00e9duire le cosinus de l&rsquo;angle \u2220BAC.<\/li>\n  <\/ol>\n\n  <h5>Correction<\/h5>\n  <p>\n    1. \u20d7AB = (4 \u2212 1 ; 3 \u2212 2) = (3 ; 1).\n    <br>AB = ||\u20d7AB|| = \u221a(3\u00b2 + 1\u00b2) = \u221a(9 + 1) = \u221a10 \u2248 3,162.\n  <\/p>\n  <p>\n    2. \u20d7AC = (2 \u2212 1 ; 5 \u2212 2) = (1 ; 3).\n    <br>AC = ||\u20d7AC|| = \u221a(1\u00b2 + 3\u00b2) = \u221a(1 + 9) = \u221a10 \u2248 3,162.\n  <\/p>\n  <p>\n    3. \u20d7AB \u00b7 \u20d7AC = 3\u00d71 + 1\u00d73 = 3 + 3 = 6.\n  <\/p>\n  <p>\n    4. cos(\u2220BAC) = (\u20d7AB \u00b7 \u20d7AC) \/ (AB \u00d7 AC) = 6 \/ (\u221a10 \u00d7 \u221a10) = 6 \/ 10 = 0,6.\n  <\/p>\n  <p>\n    Donc \u2220BAC = arccos(0,6) \u2248 53,1\u00b0.\n  <\/p>\n\n<\/article>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Sp\u00e9cialit\u00e9 Maths 1re \u2013 Chapitre 9 Produit scalaire dans le plan 1. Objectifs du chapitre &gt;Comprendre la notion de produit scalaire entre deux vecteurs. &gt;Conna\u00eetre les diff\u00e9rentes expressions du produit scalaire (alg\u00e9brique, g\u00e9om\u00e9trique, via coordonn\u00e9es). &gt;Appliquer le produit scalaire \u00e0 la caract\u00e9risation de l&rsquo;orthogonalit\u00e9. &gt;Utiliser le produit scalaire pour calculer des distances et des angles. &#8230; <a title=\"Chapitre 9\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/pratiquement.com\/?p=389\" aria-label=\"En savoir plus sur Chapitre 9\">Lire la suite<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":6,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-389","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/389","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/6"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=389"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/389\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":390,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/389\/revisions\/390"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=389"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=389"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/pratiquement.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=389"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}