Spécialité Maths 1re – Chapitre 9

Produit scalaire dans le plan

1. Objectifs du chapitre

>Comprendre la notion de produit scalaire entre deux vecteurs. >Connaître les différentes expressions du produit scalaire (algébrique, géométrique, via coordonnées). >Appliquer le produit scalaire à la caractérisation de l’orthogonalité. >Utiliser le produit scalaire pour calculer des distances et des angles. >Exploiter le produit scalaire dans des problèmes géométriques.

2. Cours

2.1 Définition du produit scalaire

Soit ⃗u et ⃗v deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de ⃗u et ⃗v, noté ⃗u · ⃗v, est le nombre réel défini par :

⃗u · ⃗v = ||⃗u|| · ||⃗v|| · cos(θ),

où θ est l’angle entre les deux vecteurs (angle compris entre 0 et π).

Cas particuliers :

>Si ⃗u et ⃗v sont dans le même sens, θ = 0 et cos(0) = 1, donc ⃗u · ⃗v = ||⃗u|| · ||⃗v|| ; >si ⃗u et ⃗v sont perpendiculaires, θ = π/2 et cos(π/2) = 0, donc ⃗u · ⃗v = 0 ; >si ⃗u et ⃗v sont dans des sens opposés, θ = π et cos(π) = −1, donc ⃗u · ⃗v = −||⃗u|| · ||⃗v||.

2.2 Produit scalaire en coordonnées

Dans un repère orthonormé, si ⃗u = (x ; y) et ⃗v = (x′ ; y′), alors :

⃗u · ⃗v = xx′ + yy′.

C’est la formule algébrique du produit scalaire, la plus facile à utiliser en calculs.

2.3 Propriétés du produit scalaire

Pour tous vecteurs ⃗u, ⃗v, ⃗w et tout nombre réel k :

>⃗u · ⃗v = ⃗v · ⃗u (commutativité) ; >(k⃗u) · ⃗v = k(⃗u · ⃗v) ; >⃗u · (⃗v + ⃗w) = ⃗u · ⃗v + ⃗u · ⃗w (distributivité) ; >⃗u · ⃗u = ||⃗u||² ; >(⃗u + ⃗v) · (⃗u + ⃗v) = ||⃗u||² + 2⃗u · ⃗v + ||⃗v||² ; >(⃗u + ⃗v) · (⃗u − ⃗v) = ||⃗u||² − ||⃗v||².

2.4 Orthogonalité et perpendiculairité

Deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si et seulement si :

⃗u · ⃗v = 0.

En coordonnées, ⃗u = (x ; y) et ⃗v = (x′ ; y′) sont orthogonaux ssi :

xx′ + yy′ = 0.

2.5 Calcul d’un angle entre deux vecteurs

Si ⃗u et ⃗v sont deux vecteurs non nuls, l’angle θ entre eux satisfait :

cos(θ) = (⃗u · ⃗v) / (||⃗u|| · ||⃗v||).

Donc :

θ = arccos((⃗u · ⃗v) / (||⃗u|| · ||⃗v||)).

2.6 Application aux distances

La distance entre deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est :

AB = ||⃗AB|| = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²).

On peut aussi utiliser : AB² = ⃗AB · ⃗AB.

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Produit scalaire en coordonnées

Calculer le produit scalaire ⃗u · ⃗v dans chacun des cas suivants :

>a) ⃗u = (2 ; 3) et ⃗v = (1 ; 2) >b) ⃗u = (−1 ; 4) et ⃗v = (2 ; 3)

Correction

a) ⃗u · ⃗v = 2×1 + 3×2 = 2 + 6 = 8.

b) ⃗u · ⃗v = (−1)×2 + 4×3 = −2 + 12 = 10.

Exercice 2 – Orthogonalité

Déterminer si les vecteurs ⃗u et ⃗v sont orthogonaux :

>a) ⃗u = (3 ; 2) et ⃗v = (−2 ; 3) >b) ⃗u = (1 ; 2) et ⃗v = (2 ; 4)

Correction

Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire vaut 0.

a) ⃗u · ⃗v = 3×(−2) + 2×3 = −6 + 6 = 0.
Les vecteurs sont orthogonaux.

b) ⃗u · ⃗v = 1×2 + 2×4 = 2 + 8 = 10 ≠ 0.
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

Exercice 3 – Norme d’un vecteur

Calculer la norme (longueur) des vecteurs suivants :

>a) ⃗u = (3 ; 4) >b) ⃗v = (−1 ; 2)

Correction

||⃗u|| = √(⃗u · ⃗u) = √(x² + y²).

a) ||⃗u|| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

b) ||⃗v|| = √((−1)² + 2²) = √(1 + 4) = √5 ≈ 2,236.

Exercice 4 – Calcul d’un angle

Déterminer l’angle θ (en degrés, arrondi au dixième) entre les vecteurs ⃗u = (1 ; 0) et ⃗v = (1 ; 1).

Correction

⃗u · ⃗v = 1×1 + 0×1 = 1.
||⃗u|| = √(1² + 0²) = 1.
||⃗v|| = √(1² + 1²) = √2 ≈ 1,414.

cos(θ) = (⃗u · ⃗v) / (||⃗u|| · ||⃗v||) = 1 / (1 × √2) = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,707.

θ = arccos(√2/2) = 45° (ou π/4 radians).

Exercice 5 – Distance et produit scalaire

On considère les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5).

>Calculer la distance AB. >Calculer la distance AC. >Calculer ⃗AB · ⃗AC. >En déduire le cosinus de l’angle ∠BAC.

Correction

1. ⃗AB = (4 − 1 ; 3 − 2) = (3 ; 1).
AB = ||⃗AB|| = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10 ≈ 3,162.

2. ⃗AC = (2 − 1 ; 5 − 2) = (1 ; 3).
AC = ||⃗AC|| = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10 ≈ 3,162.

3. ⃗AB · ⃗AC = 3×1 + 1×3 = 3 + 3 = 6.

4. cos(∠BAC) = (⃗AB · ⃗AC) / (AB × AC) = 6 / (√10 × √10) = 6 / 10 = 0,6.

Donc ∠BAC = arccos(0,6) ≈ 53,1°.