Spécialité Maths 1re – Chapitre 8

Géométrie vectorielle dans le plan

1. Objectifs du chapitre

>Comprendre la notion de vecteur et ses représentations. >Maîtriser les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire). >Utiliser les coordonnées de vecteurs dans un repère. >Reconnaître la colinéarité de deux vecteurs et l’alignement de trois points. >Étudier les droites du plan via des vecteurs directeurs et des équations paramétriques.

2. Cours

2.1 Notion de vecteur

Un vecteur est défini par :

>une direction (la droite qui le porte) ; >un sens (de A vers B, par exemple) ; >une longueur (ou norme) notée ||⃗u|| ou |⃗u|.

On note un vecteur avec une flèche : ⃗u, ⃗AB, etc.

Le vecteur ⃗AB va du point A (origine) vers le point B (extrémité).

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même longueur.

2.2 Opérations sur les vecteurs

a) Addition de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs ⃗u et ⃗v, notée ⃗u + ⃗v, se construit par la règle du parallélogramme ou la règle du triangle :

>On trace ⃗u à partir d’un point O, on obtient le point A tel que ⃗OA = ⃗u. >À partir de A, on trace ⃗v, on obtient le point B tel que ⃗AB = ⃗v. >Alors ⃗OB = ⃗u + ⃗v.

b) Multiplication par un scalaire (nombre réel)

Soit k un nombre réel et ⃗u un vecteur. Le produit k⃗u est un vecteur tel que :

>même direction que ⃗u ; >||k⃗u|| = |k| · ||⃗u|| ; >même sens que ⃗u si k > 0, sens opposé si k < 0.

2.3 Coordonnées de vecteurs

Dans un repère orthonormé (O ; ⃗i, ⃗j), tout vecteur ⃗u s’écrit de façon unique :

⃗u = x⃗i + y⃗j,

où x et y sont appelées coordonnées de ⃗u. On note ⃗u = (x ; y) ou ⃗u = (x, y).

Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) sont deux points, alors :

⃗AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A).

2.4 Opérations en coordonnées

Si ⃗u = (x ; y) et ⃗v = (x′ ; y′) sont deux vecteurs et k est un réel :

>⃗u + ⃗v = (x + x′ ; y + y′) ; >k⃗u = (kx ; ky) ; >||⃗u|| = √(x² + y²) (norme euclidienne) ; >⃗u = ⃗0 (vecteur nul) ⇔ x = 0 et y = 0.

2.5 Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaires s’il existe un nombre réel k tel que ⃗v = k⃗u (ou ⃗u = k⃗v). Cela signifie qu’ils ont la même direction.

En coordonnées, ⃗u = (x ; y) et ⃗v = (x′ ; y′) sont colinéaires si et seulement si :

xy′ − yx′ = 0,

c’est-à-dire le déterminant vaut zéro.

2.6 Alignement de trois points

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires, c’est-à-dire si le déterminant des coordonnées de ⃗AB et ⃗AC vaut zéro.

2.7 Équation de droite

Une droite peut être décrite par :

>un point A et un vecteur directeur ⃗u (non nul) ; >ou deux points distincts A et B, le vecteur directeur étant alors ⃗AB.

Une équation paramétrique de la droite passant par A(x₀ ; y₀) et de vecteur directeur ⃗u = (a ; b) est :

x = x₀ + ta
y = y₀ + tb

où t est un paramètre réel.

Une équation cartésienne de droite a la forme : ax + by + c = 0 (a et b non tous les deux nuls).

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Coordonnées de vecteurs

Dans un repère, on donne les points A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(2 ; 5).

>Calculer les coordonnées du vecteur ⃗AB. >Calculer les coordonnées du vecteur ⃗AC. >Calculer ⃗AB + ⃗AC.

Correction

1. ⃗AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A) = (4 − 1 ; 3 − 2) = (3 ; 1).

2. ⃗AC = (2 − 1 ; 5 − 2) = (1 ; 3).

3. ⃗AB + ⃗AC = (3 + 1 ; 1 + 3) = (4 ; 4).

Exercice 2 – Multiplication par un scalaire

Soit ⃗u = (2 ; −3).

>Calculer 2⃗u. >Calculer −⃗u. >Calculer ||⃗u||.

Correction

1. 2⃗u = (2×2 ; 2×(−3)) = (4 ; −6).

2. −⃗u = (−2 ; 3).

3. ||⃗u|| = √(2² + (−3)²) = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,606.

Exercice 3 – Colinéarité de vecteurs

Dire si les vecteurs suivants sont colinéaires :

>a) ⃗u = (2 ; 4) et ⃗v = (3 ; 6) >b) ⃗u = (1 ; 2) et ⃗v = (2 ; 3)

Correction

Deux vecteurs ⃗u = (x ; y) et ⃗v = (x′ ; y′) sont colinéaires ssi xy′ − yx′ = 0.

a) ⃗u = (2 ; 4), ⃗v = (3 ; 6) : déterminant = 2×6 − 4×3 = 12 − 12 = 0.
Les vecteurs sont colinéaires. (On peut vérifier : ⃗v = 1,5⃗u.)

b) ⃗u = (1 ; 2), ⃗v = (2 ; 3) : déterminant = 1×3 − 2×2 = 3 − 4 = −1 ≠ 0.
Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Exercice 4 – Alignement de trois points

Déterminer si les points A(0 ; 1), B(2 ; 3) et C(4 ; 5) sont alignés.

Correction

⃗AB = (2 − 0 ; 3 − 1) = (2 ; 2).
⃗AC = (4 − 0 ; 5 − 1) = (4 ; 4).

Déterminant : 2×4 − 2×4 = 8 − 8 = 0.

⃗AB et ⃗AC sont colinéaires, donc les trois points sont alignés.
(On vérifie aussi que ⃗AC = 2⃗AB.)

Exercice 5 – Équation paramétrique d’une droite

Soit la droite passant par le point A(1 ; 2) et ayant pour vecteur directeur ⃗u = (3 ; 2).

>Écrire une équation paramétrique de la droite. >Déterminer si le point P(4 ; 4) appartient à cette droite. >Déterminer si le point Q(7 ; 5) appartient à cette droite.

Correction

1. Équation paramétrique :
x = 1 + 3t
y = 2 + 2t
où t ∈ ℝ.

2. P(4 ; 4) appartient à la droite ssi il existe t tel que 4 = 1 + 3t et 4 = 2 + 2t.
De la première équation : 3t = 3 ⇒ t = 1.
De la deuxième équation : 2t = 2 ⇒ t = 1.
Les deux équations donnent t = 1, donc P appartient à la droite.

3. Q(7 ; 5) : 7 = 1 + 3t ⇒ 3t = 6 ⇒ t = 2.
5 = 2 + 2t ⇒ 2t = 3 ⇒ t = 1,5.
Les deux équations donnent des valeurs différentes de t, donc Q n’appartient pas à la droite.