Spécialité Maths 1re – Chapitre 7

Fonction exponentielle

1. Objectifs du chapitre

>Comprendre la fonction exponentielle comme fonction réciproque du logarithme naturel. >Connaître les propriétés algébriques et les propriétés de variation de l’exponentielle. >Savoir dériver la fonction exponentielle et résoudre des équations/inéquations. >Modéliser des phénomènes de croissance ou décroissance exponentielle (population, radioactivité, épidémiologie, etc.).

2. Cours

2.1 Définition et notation

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou e^x, est l’unique fonction définie sur ℝ telle que :

>exp′(x) = exp(x) (sa dérivée est égale à elle-même) ; >exp(0) = 1.

On note e ≈ 2,718 le nombre tel que exp(1) = e.

Donc : exp(x) = e^x.

2.2 Propriétés algébriques

Pour tous réels x, y :

>e^x · e^y = e^x+y ; >e^x / e^y = e^x−y ; >(e^x)ⁿ = e^nx pour tout entier n ; >1 / e^x = e^−x ; >e⁰ = 1 ; >e^x > 0 pour tout x réel.

2.3 Variation et signe

La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.

Pour tous x, y réels :

>x < y ⇔ e^x < e^y ; >e^x = e^y ⇔ x = y.

De plus, e^x > 0 pour tout x réel (la courbe reste toujours au-dessus de l’axe des abscisses).

2.4 Dérivation

La dérivée de f(x) = e^x est f′(x) = e^x.

Plus généralement, si g(x) = e^u(x), alors g′(x) = u′(x) · e^u(x) (règle de la chaîne).

2.5 Résolution d’équations et d’inéquations

Équations exponentielles : puisque exp est strictement croissante et bijective,

>e^x = a ⇔ x = ln(a), si a > 0 (où ln est le logarithme naturel) ; >e^f(x) = e^g(x) ⇔ f(x) = g(x).

Inéquations exponentielles : puisque exp est croissante,

>e^x > a ⇔ x > ln(a), si a > 0 ; >e^x < a ⇔ x < ln(a), si a > 0.

2.6 Modélisations exponentielles

La fonction exponentielle modélise des phénomènes où la variation est proportionnelle à la valeur actuelle :

>Croissance exponentielle (population, capital, épidémie) : N(t) = N₀ · e^kt, avec k > 0 ; >Décroissance exponentielle (radioactivité, refroidissement) : N(t) = N₀ · e^−kt, avec k > 0.

où N₀ est la valeur initiale et k est un coefficient de croissance/décroissance.

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Propriétés algébriques

Simplifier les expressions suivantes :

>a) e³ · e² >b) e⁵ / e² >c) (e²)³ >d) e⁻² · e⁵

Correction

a) e³ · e² = e³⁺² = e⁵.

b) e⁵ / e² = e⁵⁻² = e³.

c) (e²)³ = e^2×3 = e⁶.

d) e⁻² · e⁵ = e⁻²⁺⁵ = e³.

Exercice 2 – Résoudre une équation exponentielle

Résoudre dans ℝ les équations suivantes (on utilisera le fait que e^x = a ⇔ x = ln(a) si a > 0) :

>a) e^x = 1 >b) e^2x = e⁵ >c) e^x = 3

Correction

a) e^x = 1 = e⁰ ⇒ x = 0.

b) e^2x = e⁵ ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 5/2 = 2,5.

c) e^x = 3 ⇒ x = ln(3) ≈ 1,099.

Exercice 3 – Dérivation de l’exponentielle

Calculer la dérivée f′(x) pour chacune des fonctions suivantes :

>a) f(x) = e^x >b) g(x) = e^2x >c) h(x) = x · e^x

Correction

a) f(x) = e^x ⇒ f′(x) = e^x.

b) g(x) = e^2x. Posons u(x) = 2x, alors u′(x) = 2.
g′(x) = u′(x) · e^u(x) = 2 · e^2x.

c) h(x) = x · e^x. Utilisons la formule (u·v)′ = u′·v + u·v′ :
h′(x) = 1 · e^x + x · e^x = e^x(1 + x).

Exercice 4 – Inéquation exponentielle

Résoudre les inéquations suivantes :

>a) e^x > 1 >b) e^x ≤ 2

Correction

a) e^x > 1 = e⁰.
Puisque exp est croissante : e^x > e⁰ ⇒ x > 0.
Solution : x ∈ (0 ; +∞).

b) e^x ≤ 2.
e^x ≤ 2 ⇒ x ≤ ln(2) ≈ 0,693.
Solution : x ∈ (−∞ ; ln(2)].

Exercice 5 – Modélisation : croissance exponentielle (population)

Une population de bactéries suit une loi de croissance exponentielle. À t = 0 (début de l’observation), il y a N₀ = 1 000 bactéries. Le nombre de bactéries double toutes les 2 heures.

>Exprimer N(t) en fonction de t (en heures). >Combien de bactéries y a-t-il après 6 heures ? >Après combien de temps le nombre de bactéries aura-t-il décuplé ?

Correction

1. Le nombre double toutes les 2 heures : N(t) = N₀ · 2^t/2.
On peut aussi écrire : N(t) = 1 000 · 2^t/2.
Ou sous forme exponentielle : 2 = e^ln(2), donc 2^t/2 = e^(t/2)·ln(2).
Ainsi : N(t) = 1 000 · e^t·ln(2)/2 = 1 000 · e^k·t, où k = ln(2)/2 ≈ 0,347.

2. Après 6 heures : N(6) = 1 000 · 2^6/2 = 1 000 · 2³ = 1 000 · 8 = 8 000 bactéries.

3. On cherche t tel que N(t) = 10 · N₀ = 10 000.
1 000 · 2^t/2 = 10 000 ⇒ 2^t/2 = 10 ⇒ t/2 = log₂(10) = ln(10) / ln(2).
t = 2 · ln(10) / ln(2) ≈ 2 · 3,322 / 0,693 ≈ 9,6 heures.