chapitre 6

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Spécialité Maths 1re – Chapitre 6

Dérivation, tangente et étude de fonctions

1. Objectifs du chapitre

  • Comprendre le taux de variation d’une fonction sur un intervalle.
  • Introduire le nombre dérivé en un point comme pente de la tangente.
  • Savoir calculer la fonction dérivée de fonctions usuelles simples.
  • Utiliser la dérivée pour établir un tableau de variations et résoudre des problèmes d’optimisation.

2. Cours

2.1 Taux de variation

Soit f une fonction définie sur un intervalle et a, b deux nombres de cet intervalle avec a ≠ b. Le taux de variation de f entre a et b est :

τa,b = (f(b) − f(a)) / (b − a).

C’est le coefficient directeur de la sécante passant par les points (a ; f(a)) et (b ; f(b)).

Courbe de y=x² avec une sécante entre x=a et x=b
Exemple : pour f(x) = x², le taux de variation entre a et b est la pente de la sécante reliant A(a ; a²) à B(b ; b²).

2.2 Nombre dérivé et tangente (idée)

On fait « rapprocher » b de a : si le taux de variation τa,b se rapproche d’un nombre réel unique quand b se rapproche de a, on dit que f est dérivable en a. Ce nombre limite est le nombre dérivé de f en a, noté f′(a).

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est la droite de pente f′(a) passant par (a ; f(a)), d’équation :

y = f(a) + f′(a)(x − a).

Tangente à la courbe de y=x² au point d'abscisse a
Nombre dérivé et tangente : pour f(x)=x², la tangente au point A(a ; a²) a pour pente f′(a)=2a.

2.3 Fonction dérivée

Quand f est dérivable en tout point d’un intervalle I, on définit la fonction dérivée f′ sur I : à chaque x de I, on associe le nombre dérivé f′(x). La dérivée donne la pente de la tangente à la courbe de f en chaque point.

2.4 Formules de dérivation usuelles

Pour tout réel x où ces fonctions sont définies :

  • (x²)′ = 2x ;
  • (x³)′ = 3x² ;
  • (xn)′ = n xn−1 pour n entier ≥ 1 ;
  • (1/x)′ = −1/x² pour x ≠ 0 ;
  • (√x)′ = 1 / (2√x) pour x > 0 ;
  • Si f(x) = ax + b, alors f′(x) = a ;
  • (u + v)′ = u′ + v′ ;
  • (k·u)′ = k·u′ (k réel) ;
  • (u·v)′ = u′·v + u·v′ ;
  • (u/v)′ = (u′v − uv′) / v², si v(x) ≠ 0.
Courbe d'une fonction et variation du signe de la dérivée
Exemple : pour une fonction en forme de « S », la dérivée est positive où la courbe monte, négative où elle descend, nulle aux points où la tangente est horizontale.

2.5 Lien dérivée / variations

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

  • Si pour tout x dans I, f′(x) ≥ 0 (et ne s’annule qu’en un nombre fini de points), alors f est croissante sur I.
  • Si pour tout x dans I, f′(x) ≤ 0 (et ne s’annule qu’en un nombre fini de points), alors f est décroissante sur I.

Les changements de signe de f′ indiquent souvent des extremums de f (minimum ou maximum local).

Courbe de f et tableau de variations lié au signe de f'
Le signe de f′ permet de construire le tableau de variations de f : f′>0 ⇒ f croît, f′<0 ⇒ f décroît.

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Taux de variation

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 3x.

  1. Calculer le taux de variation de f entre 1 et 4.
  2. Interpréter ce résultat géométriquement.
Correction

f(1) = 1² − 3×1 = −2 ; f(4) = 4² − 3×4 = 16 − 12 = 4.

τ1,4 = (f(4) − f(1)) / (4 − 1) = (4 − (−2)) / 3 = 6/3 = 2.

Le coefficient directeur de la sécante passant par les points (1 ; −2) et (4 ; 4) vaut 2.

Exercice 2 – Calcul de dérivées simples

Calculer la fonction dérivée f′ dans chacun des cas suivants :

  1. a) f(x) = 3x² − 5x + 2
  2. b) g(x) = 1/x
  3. c) h(x) = (x² − 1)(x + 2)
Correction

a) f(x) = 3x² − 5x + 2 ⇒ f′(x) = 6x − 5.

b) g(x) = x−1 ⇒ g′(x) = −1·x−2 = −1/x² (pour x ≠ 0).

c) h(x) = (x² − 1)(x + 2).
h′(x) = (2x)(x + 2) + (x² − 1)(1) = 2x(x + 2) + x² − 1.
h′(x) = 2x² + 4x + x² − 1 = 3x² + 4x − 1.

Exercice 3 – Tangente en un point

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x² − 4x + 1.

  1. Calculer f′(x).
  2. Déterminer le nombre dérivé f′(2).
  3. Donner une équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2.
Correction

1. f(x) = x² − 4x + 1 ⇒ f′(x) = 2x − 4.

2. f′(2) = 2×2 − 4 = 0.

3. f(2) = 2² − 4×2 + 1 = 4 − 8 + 1 = −3.
La tangente en x = 2 est horizontale (pente 0), d’équation : y = −3.

Exercice 4 – Variations d’une fonction par la dérivée

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 2.

  1. Calculer f′(x).
  2. Résoudre f′(x) = 0.
  3. Étudier le signe de f′(x) et dresser le tableau de variations de f.
Correction

1. f(x) = x³ − 3x² + 2 ⇒ f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).

2. f′(x) = 0 ⇔ 3x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2.

3. Signe de f′ :

  • Pour x < 0 : x < 0 et (x − 2) < 0 ⇒ f′(x) > 0.
  • Pour 0 < x < 2 : x > 0 et (x − 2) < 0 ⇒ f′(x) < 0.
  • Pour x > 2 : x > 0 et (x − 2) > 0 ⇒ f′(x) > 0.

Donc f est croissante sur (−∞ ; 0], décroissante sur [0 ; 2], puis croissante sur [2 ; +∞).

f(0) = 2, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2 :
maximum local en x = 0 (valeur 2), minimum local en x = 2 (valeur −2).

Exercice 5 – Problème d’optimisation

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞) par f(x) = −2x² + 8x + 3.

  1. Calculer f′(x).
  2. Résoudre f′(x) = 0.
  3. Étudier le signe de f′(x) et dresser le tableau de variations de f sur [0 ; +∞).
  4. En déduire la valeur de x qui maximise f(x) et la valeur maximale.
Correction

1. f(x) = −2x² + 8x + 3 ⇒ f′(x) = −4x + 8.

2. f′(x) = 0 ⇔ −4x + 8 = 0 ⇔ x = 2.

3. Pour x < 2, f′(x) > 0 ; pour x > 2, f′(x) < 0 : f est croissante sur [0 ; 2] puis décroissante sur [2 ; +∞).

4. f(2) = −2×2² + 8×2 + 3 = −8 + 16 + 3 = 11.
La fonction atteint un maximum égal à 11 pour x = 2.

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