Chapitre 5

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Spécialité Maths 1re – Chapitre 5

Fonctions usuelles et étude de fonctions

1. Objectifs du chapitre

  • Manipuler les fonctions usuelles (affine, carré, inverse, racine, valeur absolue, polynômes simples).
  • Lire et interpréter une fonction à partir d’un graphique ou d’un tableau de valeurs.
  • Construire des tableaux de variation simples et utiliser les notions de minimum / maximum sur un intervalle.
  • Résoudre graphiquement ou par le calcul des équations et inéquations du type f(x)=k ou f(x)≥k.

2. Cours

2.1 Rappels : fonction, image, antécédent

Une fonction f associe à tout nombre réel x d’un ensemble de départ D une valeur réelle f(x). On dit que f(x) est l’image de x par f, et que x est un antécédent de f(x).

On représente une fonction par :

  • une expression algébrique (par exemple f(x) = 2x − 3) ;
  • un tableau de valeurs ;
  • un graphique (courbe dans un repère).

2.2 Fonctions usuelles

a) Fonction affine

Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. Sa représentation est une droite de pente (coefficient directeur) a et d’ordonnée à l’origine b. [web:127][web:132]

  • Si a > 0, f est croissante sur ℝ ;
  • si a < 0, f est décroissante sur ℝ ;
  • si a = 0, f est constante : f(x) = b.
b) Fonction carré

La fonction carré est définie sur ℝ par : f(x) = x².

  • Son graphique est une parabole symétrique par rapport à l’axe vertical.
  • Elle est décroissante sur (−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞).
c) Fonction inverse (sur ℝ\{0})

La fonction inverse est définie par g(x) = 1/x, pour x ≠ 0.

  • Sur (0 ; +∞), g est décroissante et positive ;
  • sur (−∞ ; 0), g est croissante et négative.
d) Fonction racine carrée

La fonction h(x) = √x est définie sur [0 ; +∞). Elle est croissante sur cet intervalle.

e) Fonction valeur absolue

La fonction v(x) = |x| est définie par :

|x| = x si x ≥ 0,   |x| = −x si x < 0.

Elle est décroissante sur (−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞).

2.3 Sens de variation d’une fonction

Soit f définie sur un intervalle I.

  • f est croissante sur I si, pour tous réels a, b de I, a < b ⇒ f(a) ≤ f(b) ;
  • f est décroissante sur I si, pour tous a, b de I, a < b ⇒ f(a) ≥ f(b).

On résume ces informations dans un tableau de variation :

  • première ligne : valeurs de x ;
  • deuxième ligne : flèches montantes ou descendantes indiquant l’évolution de f(x).

2.4 Minimum, maximum, extrema

On dit que f admet un minimum m sur un intervalle I s’il existe c dans I tel que f(c) = m et, pour tout x dans I, f(x) ≥ m.

On parle de maximum M si f(c) = M et, pour tout x dans I, f(x) ≤ M. On regroupe « minimum » et « maximum » sous le terme extremum.

2.5 Résolution graphique d’équations et d’inéquations

Pour résoudre f(x) = k graphiquement :

  • on trace la courbe de f et la droite horizontale y = k ;
  • les abscisses des points d’intersection donnent les solutions.

Pour résoudre f(x) ≥ k :

  • on repère sur le graphique les zones où la courbe de f est au-dessus (ou sur) la droite y = k ;
  • on lit les intervalles correspondants en abscisse.

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Fonction affine

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 3x − 2.

  1. Calculer f(0), f(1) et f(−2).
  2. Compléter un tableau de valeurs pour x = −1, 0, 1, 2.
  3. La fonction est-elle croissante ou décroissante sur ℝ ? Justifier.
Correction

1. f(0) = 3×0 − 2 = −2 ; f(1) = 3×1 − 2 = 1 ; f(−2) = 3×(−2) − 2 = −8.

2. Tableau de valeurs :

x−1012
f(x)−5−214

3. f(x) = 3x − 2 est une fonction affine de coefficient directeur 3 > 0, donc f est croissante sur ℝ.

Exercice 2 – Variation de la fonction carré

Soit g(x) = x².

  1. Calculer g(−3), g(−1), g(0), g(1), g(2).
  2. À partir des valeurs trouvées, indiquer sur quels intervalles g est croissante et décroissante.
Correction

1. g(−3) = 9 ; g(−1) = 1 ; g(0) = 0 ; g(1) = 1 ; g(2) = 4.

2. En lisant les valeurs :
De x = −3 à x = 0, les images 9, 1, 0 décroissent : g est décroissante sur (−∞ ; 0].
De x = 0 à x = 2, les images 0, 1, 4 croissent : g est croissante sur [0 ; +∞).

Exercice 3 – Valeur absolue

On considère la fonction v définie sur ℝ par v(x) = |x|.

  1. Compléter le tableau de valeurs pour x = −3, −1, 0, 1, 3.
  2. Donner son sens de variation sur (−∞ ; 0] puis sur [0 ; +∞).
  3. Résoudre v(x) = 2.
Correction

1. v(−3) = 3 ; v(−1) = 1 ; v(0) = 0 ; v(1) = 1 ; v(3) = 3.

2. Quand x passe de −3 à 0, les images 3, 1, 0 décroissent : v est décroissante sur (−∞ ; 0].
De 0 à 3, les images 0, 1, 3 croissent : v est croissante sur [0 ; +∞).

3. Résoudre |x| = 2 revient à chercher les nombres dont la distance à 0 vaut 2 :
Solutions : x = −2 ou x = 2.

Exercice 4 – Lecture graphique

On considère la courbe d’une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 5]. On sait que :

  • f est décroissante de −2 à 1, puis croissante de 1 à 5 ;
  • f(−2) = 4 ; f(1) = −1 ; f(5) = 3.
  1. Compléter le tableau de variation de f sur [−2 ; 5].
  2. Quel est le minimum de f sur cet intervalle ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ?
  3. Quel est le maximum de f sur [−2 ; 5] ?
Correction

1. Tableau de variation :

  • De x = −2 à x = 1 : f descend de 4 à −1.
  • De x = 1 à x = 5 : f monte de −1 à 3.

2. Le minimum est −1, atteint pour x = 1.

3. Le maximum vaut 4 (pour x = −2) si l’on ne regarde que les valeurs données ; sur [−2 ; 5], d’après les infos, c’est bien la plus grande valeur.

Exercice 5 – Résolution graphique d’une inéquation

On considère une fonction f définie sur [0 ; 10] dont on connaît le tableau de variation :

  • f est croissante sur [0 ; 3] et f(0) = 2, f(3) = 5 ;
  • f est décroissante sur [3 ; 8] et f(8) = 1 ;
  • f est croissante sur [8 ; 10] et f(10) = 4.
  1. Sur quel(s) intervalle(s) f(x) ≥ 3 ?
  2. Sur quel(s) intervalle(s) f(x) ≤ 2 ?
Correction

1. f(0) = 2 < 3 et f(3) = 5 > 3. Sur [0 ; 3], par croissance, il existe un unique c dans (0 ; 3) tel que f(c) = 3 ; f(x) ≥ 3 pour x ∈ [c ; 3].
Sur [3 ; 8], f décroît de 5 à 1 : il existe un unique d dans (3 ; 8) tel que f(d) = 3 ; f(x) ≥ 3 pour x ∈ [3 ; d].
Sur [8 ; 10], f passe de 1 à 4 : il existe un unique e dans (8 ; 10) tel que f(e) = 3 ; f(x) ≥ 3 pour x ∈ [e ; 10].

Globalement, l’ensemble des solutions de f(x) ≥ 3 est la réunion des intervalles [c ; d] ∪ [e ; 10], où c, d, e sont lus graphiquement.

2. f(x) ≤ 2 s’observe là où la courbe est en dessous ou au niveau de la hauteur 2.
En utilisant les variations :

  • Sur [0 ; 3], f(0) = 2 et f croît ensuite au-dessus de 2 ⇒ solutions dans [0 ; c2]
  • Sur [3 ; 8], f décroît et passe en dessous de 2 puis remonte vers 1 : on repère un intervalle [d2 ; 8]
  • Sur [8 ; 10], f reste ≥ 1 et atteint 4, donc une partie est aussi ≤ 2 ; on lit un intervalle [8 ; e2]
Les bornes exactes (c2, d2, e2) se déterminent sur le graphique réel.

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