Chapitre 4

par

Spécialité Maths 1re – Chapitre 4

Polynômes du second degré, équations et signe

1. Objectifs du chapitre

  • Reconnaître et manipuler une fonction polynôme du second degré : f(x) = ax² + bx + c.
  • Résoudre des équations et inéquations du second degré.
  • Utiliser le discriminant et le sommet de la parabole.
  • Exploiter les tableaux de signes et de variations de f.

2. Cours

2.1 Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme :

f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0.

Sa courbe représentative est une parabole dans le plan, ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

2.2 Équation du second degré

On cherche à résoudre : ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0.

On calcule le discriminant :

Δ = b² − 4ac.

  • Si Δ > 0 : il y a deux racines réelles distinctes :

x1 = (−b − √Δ) / (2a),    x2 = (−b + √Δ) / (2a).

  • Si Δ = 0 : il y a une racine réelle double :

x0 = −b / (2a).

  • Si Δ < 0 : il n’y a pas de solution réelle.

2.3 Factorisation et signe de ax² + bx + c

Quand l’équation ax² + bx + c = 0 admet des racines réelles x1, x2, on peut souvent écrire :

ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2).

Le signe de ax² + bx + c se lit alors sur un tableau de signes :

  • le signe de a est constant et « commande » le signe en dehors des racines,
  • le polynôme change de signe en chaque racine.

2.4 Sommet de la parabole

La fonction f(x) = ax² + bx + c admet un sommet S (α ; f(α)) avec :

α = −b / (2a).

On peut montrer que pour tout x :

f(x) = a(x − α)² + f(α).

Si a > 0, f admet un minimum en x = α. Si a < 0, f admet un maximum en x = α.

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Calcul de discriminant et racines

Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

  1. a) x² − 5x + 6 = 0
  2. b) 2x² + 4x + 1 = 0
  3. c) 3x² + 2x + 5 = 0
Correction

a) f(x) = x² − 5x + 6 : a = 1, b = −5, c = 6.
Δ = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1 > 0.

x1 = (5 − 1) / 2 = 4/2 = 2 ;   x2 = (5 + 1) / 2 = 6/2 = 3.

Ensemble de solutions : {2 ; 3}.

b) 2x² + 4x + 1 : a = 2, b = 4, c = 1.
Δ = 4² − 4×2×1 = 16 − 8 = 8 > 0.

√Δ = √8 = 2√2.
x1 = (−4 − 2√2) / (4) = (−2 − √2)/2 ;
x2 = (−4 + 2√2) / (4) = (−2 + √2)/2.

c) 3x² + 2x + 5 : a = 3, b = 2, c = 5.
Δ = 2² − 4×3×5 = 4 − 60 = −56 < 0.

Il n’y a pas de solution réelle.

Exercice 2 – Factoriser un trinôme

Factoriser les expressions suivantes quand c’est possible :

  1. a) x² − 5x + 6
  2. b) 2x² − 3x − 2
Correction

a) On a vu que les racines de x² − 5x + 6 = 0 sont 2 et 3.
Donc : x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

b) Pour 2x² − 3x − 2 : a = 2, b = −3, c = −2.
Δ = (−3)² − 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25.
√Δ = 5.

x1 = (3 − 5) / 4 = −2/4 = −1/2 ;   x2 = (3 + 5) / 4 = 8/4 = 2.

Donc : 2x² − 3x − 2 = 2(x + 1/2)(x − 2) = (2x + 1)(x − 2).

Exercice 3 – Tableau de signes

Soit f(x) = x² − 5x + 6.

  1. Résoudre f(x) = 0 et factoriser f(x).
  2. Établir le tableau de signes de f(x).
  3. En déduire le signe de f(x) et résoudre f(x) ≥ 0.
Correction

1. On a déjà : f(x) = (x − 2)(x − 3).
Les racines sont 2 et 3.

2. Tableau de signes (a > 0, donc signe + en dehors des racines) :

– Pour x < 2 : les deux facteurs (x − 2) et (x − 3) sont négatifs ⇒ produit positif. – Pour 2 < x < 3 : (x − 2) > 0, (x − 3) < 0 ⇒ produit négatif. – Pour x > 3 : les deux facteurs sont positifs ⇒ produit positif.

3. f(x) ≥ 0 pour x ≤ 2 ou x ≥ 3.

Exercice 4 – Sommet et variations

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x² − 4x + 1.

  1. Calculer le discriminant Δ et déterminer s’il y a des racines réelles.
  2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.
  3. Établir le sens de variation de f.
Correction

1. a = 2, b = −4, c = 1.
Δ = (−4)² − 4×2×1 = 16 − 8 = 8 > 0 : deux racines réelles.

2. α = −b / (2a) = 4 / 4 = 1.
f(1) = 2×1² − 4×1 + 1 = 2 − 4 + 1 = −1.
Le sommet est S(1 ; −1).

3. a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut.
Donc f est décroissante sur (−∞ ; 1] puis croissante sur [1 ; +∞).

Exercice 5 – Problème d’optimisation

Un rectangulaire a un périmètre fixe de 20 cm. On note x la longueur (en cm) d’un côté et y celle de l’autre. On suppose x > 0 et y > 0.

  1. Exprimer y en fonction de x.
  2. Exprimer l’aire A(x) du rectangle en fonction de x.
  3. Montrer que A(x) peut s’écrire sous la forme : A(x) = −2x² + 20x.
  4. Déterminer la valeur de x qui maximise l’aire A(x).
Correction

1. Le périmètre vaut 2(x + y) = 20 ⇒ x + y = 10 ⇒ y = 10 − x.

2. A(x) = x·y = x(10 − x) = 10x − x².

3. On peut aussi écrire A(x) = −x² + 10x.
En factorisant par −1 : A(x) = −(x² − 10x) = −(x² − 10x + 25 − 25) = −[(x − 5)² − 25] = −(x − 5)² + 25.
(La forme −2x² + 20x correspondrait à un périmètre 40 ; ici on garde −x² + 10x.)

4. On a A(x) = −(x − 5)² + 25, parabole tournée vers le bas, sommet en x = 5.
L’aire maximale est A(5) = 25 cm², obtenue pour x = 5 et donc y = 5 : le rectangle est un carré.

Laisser un commentaire