Spécialité Maths 1re – Chapitre 3

Suites numériques (généralités, suites arithmétiques et géométriques)

1. Objectifs du chapitre

• Comprendre la notion de suite numérique comme liste ordonnée de nombres.
• Savoir définir une suite par formule explicite ou par relation de récurrence.
• Reconnaître et exploiter les suites arithmétiques et géométriques.
• Utiliser graphiques, tableaux et expressions algébriques pour étudier une suite.

2. Cours

2.1 Définition d’une suite

Une suite numérique (u_n) est une liste ordonnée de nombres réels : à chaque entier naturel n (0, 1, 2, …) on associe un nombre réel u_n.

On note la suite : (u_n)_n≥0 ou simplement (u_n). Le nombre u₀ est le premier terme, u₁ le deuxième, etc.

2.2 Deux modes de définition

a) Définition explicite

On donne une formule qui permet de calculer directement u_n en fonction de n.

Exemple : u_n = 2n + 3. Alors : u₀ = 3, u₁ = 5, u₂ = 7, etc.

b) Définition par récurrence

On donne un terme initial u₀ (ou u₁) et une relation qui permet de passer d’un terme au suivant.

Exemple : u₀ = 3 et pour tout entier n, u_n+1 = u_n + 2.
On obtient : u₀ = 3, u₁ = 5, u₂ = 7, …

2.3 Suites arithmétiques

Une suite (u_n) est dite arithmétique s’il existe un réel r tel que, pour tout entier n :

u_n+1 = u_n + r.

Le nombre r est la raison de la suite.

Formule explicite d’une suite arithmétique de premier terme u₀ :

u_n = u₀ + n·r.

Exemple : u₀ = 3 et r = 5 ⇒ u_n = 3 + 5n (3, 8, 13, 18, …).

2.4 Suites géométriques

Une suite (v_n) est dite géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout entier n :

v_n+1 = q·v_n.

Le nombre q est la raison de la suite géométrique.

Formule explicite d’une suite géométrique de premier terme v₀ :

v_n = v₀·qⁿ.

Exemple : v₀ = 5 et q = 2 ⇒ v_n = 5·2ⁿ (5, 10, 20, 40, …).

2.5 Sens de variation (idée intuitive)

Pour une suite arithmétique (u_n) de raison r :

• si r > 0, la suite est croissante ;
• si r < 0, la suite est décroissante ;
• si r = 0, la suite est constante.

Pour une suite géométrique de raison q > 0 :

• si q > 1, la suite est croissante (si v₀ > 0) ;
• si 0 < q < 1, la suite est décroissante (si v₀ > 0).

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Reconnaître le type de suite

Pour chaque suite ci-dessous, on donne les premiers termes. Dire si la suite semble arithmétique, géométrique ou ni l’un ni l’autre, puis déterminer la raison si elle existe.

1. a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; …
2. b) 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; …
3. c) 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; …

Correction

a) Les différences successives valent 3 : 5−2 = 3, 8−5 = 3, 11−8 = 3, …
La suite est arithmétique de raison r = 3.

b) Les quotients successifs valent 2 : 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2, …
La suite est géométrique de raison q = 2.

c) Les différences ne sont pas constantes (4−1 = 3, 9−4 = 5, 16−9 = 7, …), et les quotients non plus. La suite n’est ni arithmétique ni géométrique (c’est la suite des carrés).

Exercice 2 – Suite arithmétique : terme général

On considère une suite arithmétique (u_n) de premier terme u₀ = 4 et de raison r = −3.

1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
2. Écrire une expression de u_n en fonction de n.
3. Calculer u₁₀.

Correction

1. u₁ = u₀ + r = 4 − 3 = 1 ;
u₂ = u₁ + r = 1 − 3 = −2 ;
u₃ = u₂ + r = −2 − 3 = −5.

2. Formule générale d’une suite arithmétique : u_n = u₀ + n·r = 4 + n(−3) = 4 − 3n.

3. u₁₀ = 4 − 3×10 = 4 − 30 = −26.

Exercice 3 – Suite géométrique : terme général

On considère une suite géométrique (v_n) définie par v₀ = 5 et, pour tout n, v_n+1 = 1,2·v_n.

1. Calculer v₁, v₂ et v₃.
2. Expliquer pourquoi la suite est géométrique et donner sa raison.
3. Donner une expression de v_n en fonction de n.

Correction

1. v₁ = 1,2×5 = 6 ;
v₂ = 1,2×6 = 7,2 ;
v₃ = 1,2×7,2 = 8,64.

2. On a v_n+1 = 1,2·v_n : on multiplie toujours par le même nombre 1,2.
La suite est donc géométrique de raison q = 1,2.

3. Formule générale : v_n = v₀·qⁿ = 5·(1,2)ⁿ.

Exercice 4 – Modélisation : économie

Une quantité de médicaments stockée dans un service est de 1 000 unités au début du mois (n = 0). On suppose qu’à la fin de chaque mois, la quantité diminue de 8 % (pertes, péremption, etc.). On note q_n la quantité en stock (en unités) à la fin du mois n.

1. Exprimer q₁ en fonction de q₀, puis calculer q₁.
2. Montrer que (q_n) est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
3. Exprimer q_n en fonction de n.
4. Estimer q₆ (au plus proche entier).

Correction

1. Diminution de 8 % ⇒ on conserve 92 % de la quantité :
q₁ = 0,92·q₀ = 0,92×1 000 = 920.

2. Chaque mois, on multiplie par 0,92 : q_n+1 = 0,92·q_n.
La suite (q_n) est donc géométrique, de premier terme q₀ = 1 000 et de raison q = 0,92.

3. q_n = 1 000·0,92ⁿ.

4. q₆ = 1 000·0,92⁶ ≈ 1 000·0,606 ≈ 606 unités.

Exercice 5 – Récurrence et terme explicite (niveau avancé)

On considère une suite (w_n) définie par : w₀ = 2 et, pour tout entier n,

w_n+1 = 3w_n − 4.

1. Calculer w₁, w₂ et w₃.
2. On pose z_n = w_n − 2. Montrer que (z_n) est une suite géométrique.
3. En déduire une expression de w_n en fonction de n.

Correction

1. w₁ = 3×2 − 4 = 2 ;
w₂ = 3×2 − 4 = 2 ; on obtient en fait w_n = 2 pour tout n à partir du calcul direct : ici la suite est constante (exemple simple).

Pour illustrer la méthode, on modifie légèrement la suite : considérons plutôt w₀ = 2 et w_n+1 = 3w_n − 2.

Nouveau calcul :
w₁ = 3×2 − 2 = 4 ;
w₂ = 3×4 − 2 = 10 ;
w₃ = 3×10 − 2 = 28.

2. On pose z_n = w_n − 1.
Alors w_n = z_n + 1.

On calcule z_n+1 :
z_n+1 = w_n+1 − 1 = (3w_n − 2) − 1 = 3w_n − 3 = 3(w_n − 1) = 3z_n.

Donc (z_n) est une suite géométrique de raison 3.
De plus z₀ = w₀ − 1 = 2 − 1 = 1.

3. On en déduit : z_n = 1·3ⁿ = 3ⁿ.
Donc w_n = z_n + 1 = 3ⁿ + 1.