Chapitre 1

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Spécialité Maths 1re – Chapitre 1

Probabilités conditionnelles et indépendance

1. Objectifs du chapitre

  • Introduire et manipuler la probabilité conditionnelle P(B|A).
  • Utiliser des arbres pondérés et des tableaux de probabilités.
  • Appliquer la formule des probabilités totales et la formule de Bayes dans des cas simples.
  • Définir et tester l’indépendance de deux événements.

2. Cours

2.1 Rappel : probabilité sur un univers fini

On considère une expérience aléatoire avec un univers fini Ω et des événements A, B ⊆ Ω.

  • P(Ω) = 1 ; pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

2.2 Probabilité conditionnelle

Soit A un événement avec P(A) ≠ 0. La probabilité de B sachant A, notée P(B|A) ou PA(B), est définie par :

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).

On a alors la formule du produit :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).

2.3 Arbres pondérés et probabilités totales

Pour une expérience en plusieurs étapes, on utilise un arbre pondéré : chaque branche porte une probabilité (souvent conditionnelle).

  • La probabilité d’un chemin complet est le produit des probabilités des branches qui le composent.
  • Pour un événement B, on additionne les probabilités de tous les chemins menant à B.

Si (A1, A2, …, An) est une partition de Ω (système complet d’événements), alors pour tout événement B :

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + … + P(An)P(B|An).

C’est la formule des probabilités totales.

2.4 Probabilité conditionnelle « dans l’autre sens » (idée de Bayes)

Dans le cas d’une partition (A1, …, An) et d’un événement B tel que P(B) ≠ 0, on peut calculer la probabilité P(Ak|B) à l’aide de :

P(Ak|B) = [P(Ak)P(B|Ak)] / [P(A1)P(B|A1) + … + P(An)P(B|An)].

Cette formule est une forme simple de la formule de Bayes.

2.5 Indépendance de deux événements

Deux événements A et B sont dits indépendants si :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0, cela équivaut à :

  • P(B|A) = P(B) ;
  • ou P(A|B) = P(A).

3. Exercices corrigés

Exercice 1 – Tableau simple

Une classe compte 30 élèves : 18 filles et 12 garçons. Parmi les filles, 10 pratiquent un sport en club. Parmi les garçons, 9 pratiquent un sport en club. On choisit un élève au hasard.

  1. Calculer la probabilité qu’il pratique un sport en club.
  2. On sait que l’élève pratique un sport en club. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Correction

On note F : « fille », G : « garçon », S : « pratique un sport en club ».

Nombre de sportifs : 10 + 9 = 19 sur 30 élèves.
P(S) = 19/30.

P(F) = 18/30, P(F ∩ S) = 10/30.
P(F|S) = P(F ∩ S) / P(S) = (10/30) / (19/30) = 10/19.

Exercice 2 – Arbre à deux niveaux

Une urne U1 contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. Une urne U2 contient 1 boule rouge et 4 boules bleues. On choisit d’abord une urne au hasard, puis on tire une boule dans cette urne.

  1. Construire un arbre de probabilité.
  2. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
  3. La boule tirée est rouge. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de U1 ?
Correction

On a P(U1) = P(U2) = 1/2.
P(R|U1) = 3/5, P(B|U1) = 2/5 ;
P(R|U2) = 1/5, P(B|U2) = 4/5.

P(R) = P(U1 ∩ R) + P(U2 ∩ R) = (1/2)×(3/5) + (1/2)×(1/5) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5.

P(U1|R) = P(U1 ∩ R) / P(R) = [(1/2)×(3/5)] / (2/5) = (3/10) / (4/10) = 3/4.

Exercice 3 – Probabilités totales (test médical)

Dans une population, 20 % des patients sont porteurs d’une maladie M. Un test T a une sensibilité de 95 % : P(T+|M) = 0,95, et une spécificité de 90 % : P(T−|¬M) = 0,90.

  1. Calculer la probabilité qu’un patient ait un test positif.
  2. Un patient a un test positif. Quelle est la probabilité qu’il soit réellement malade ?
Correction

On note M : « malade », ¬M : « non malade », T+ : « test positif », T− : « test négatif ».

  • P(M) = 0,20 ; P(¬M) = 0,80.
  • P(T+|M) = 0,95 ⇒ P(T−|M) = 0,05.
  • P(T−|¬M) = 0,90 ⇒ P(T+|¬M) = 0,10.

P(T+) = P(M)P(T+|M) + P(¬M)P(T+|¬M) = 0,20×0,95 + 0,80×0,10 = 0,19 + 0,08 = 0,27.

P(M|T+) = P(M ∩ T+) / P(T+) = (0,20×0,95) / 0,27 = 0,19 / 0,27 ≈ 0,70.

Environ 70 % des tests positifs correspondent à de vrais malades.

Exercice 4 – Indépendance

On lance une pièce équilibrée deux fois. On note A l’événement « obtenir au moins une fois pile », B l’événement « obtenir pile au premier lancer ».

  1. Décrire l’univers Ω.
  2. Calculer P(A), P(B) et P(A ∩ B).
  3. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Correction

1. Ω = {PP, PF, FP, FF}.

2. A : au moins un P ⇒ {PP, PF, FP}, donc P(A) = 3/4.
B : pile au premier lancer ⇒ {PP, PF}, donc P(B) = 2/4 = 1/2.
A ∩ B = {PP, PF}, donc P(A ∩ B) = 2/4 = 1/2.

3. P(A)P(B) = (3/4)×(1/2) = 3/8 ≠ 1/2 = P(A ∩ B).
A et B ne sont donc pas indépendants.

Exercice 5 – Problème type bac

Un cabinet d’imagerie reçoit 60 % de patients externes (E) et 40 % de patients hospitalisés (H). Parmi les externes, 15 % ne se présentent pas à leur rendez-vous (événement N). Parmi les hospitalisés, 2 % ne se présentent pas.

  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité qu’un patient ne se présente pas.
  3. Un patient ne s’est pas présenté. Quelle est la probabilité qu’il soit un externe ?
  4. Les événements « être externe » et « ne pas se présenter » sont-ils indépendants ?
Correction

On a P(E) = 0,60, P(H) = 0,40.
P(N|E) = 0,15 ⇒ P(¬N|E) = 0,85.
P(N|H) = 0,02 ⇒ P(¬N|H) = 0,98.

P(N) = P(E)P(N|E) + P(H)P(N|H) = 0,60×0,15 + 0,40×0,02 = 0,09 + 0,008 = 0,098.

P(E|N) = P(E ∩ N) / P(N) = (0,60×0,15) / 0,098 = 0,09 / 0,098 ≈ 0,92.

P(E)P(N) = 0,60×0,098 = 0,0588, tandis que P(E ∩ N) = 0,09.
Comme P(E ∩ N) ≠ P(E)P(N), les événements « être externe » et « ne pas se présenter » ne sont pas indépendants.

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