Spécialité Maths 1re – Chapitre 2

Variables aléatoires réelles (discrètes)

1. Objectifs du chapitre

• Modéliser une expérience aléatoire par une variable aléatoire réelle discrète.
• Construire et exploiter la loi de probabilité associée.
• Calculer espérance, variance et écart type.
• Utiliser ces notions dans des problèmes concrets (jeux, statistiques, modélisations simples).

2. Cours

2.1 Variable aléatoire discrète

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est fini (ou dénombrable) : lancer de dés, tirage dans une urne, questionnaire, etc.

Une variable aléatoire réelle discrète est une application qui associe à chaque issue de l’expérience un nombre réel.

On la note généralement X. Les valeurs possibles de X sont notées x₁, x₂, …, x_n.

2.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

À chaque valeur possible x_i de X est associée la probabilité P(X = x_i).

La loi de probabilité de X peut être présentée dans un tableau :

Une loi de probabilité vérifie toujours :

• P(X = x_i) ≥ 0 pour tout i ;
• P(X = x₁) + P(X = x₂) + … + P(X = x_n) = 1.

2.3 Espérance d’une variable aléatoire

L’espérance de X, notée E(X), est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités :

E(X) = x₁P(X = x₁) + x₂P(X = x₂) + … + x_nP(X = x_n).

Interprétation : c’est la valeur moyenne attendue sur un très grand nombre de répétitions de l’expérience (gain moyen, score moyen, etc.).

2.4 Variance et écart type

La variance de X, notée V(X), mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.

On a la formule :

V(X) = E(X²) − (E(X))²,

où E(X²) = x₁²P(X = x₁) + … + x_n²P(X = x_n).

L’écart type de X, noté σ(X), est la racine carrée de la variance : σ(X) = √V(X).

3. Exercices corrigés (progressifs)

Exercice 1 – Lecture d’une loi simple

On lance un dé équilibré à 6 faces. On note X le numéro obtenu.

1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Calculer E(X).

Correction

1. X peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 toutes équiprobables, donc :

2. E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × (1/6) = 21 × (1/6) = 3,5.

Exercice 2 – Loi à compléter

Une variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1, 2, 3.

On sait que P(X = 0) = 0,1 ; P(X = 1) = 0,2 ; P(X = 2) = 0,4 ; P(X = 3) = p.

1. Déterminer p.
2. Calculer E(X).

Correction

1. La somme des probabilités vaut 1 :

0,1 + 0,2 + 0,4 + p = 1 ⇒ 0,7 + p = 1 ⇒ p = 0,3.

2. E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,2 + 2 × 0,4 + 3 × 0,3 = 0 + 0,2 + 0,8 + 0,9 = 1,9.

Exercice 3 – Jeu avec gain

On considère le jeu suivant : on lance une pièce équilibrée.
Si on obtient pile, le joueur gagne 3 € ; si on obtient face, il perd 1 € (on note ce gain négatif).
On note X le gain algébrique du joueur pour une partie.

1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Calculer l’espérance E(X).
3. Le jeu est-il favorable au joueur ?

Correction

X prend les valeurs 3 (pile) ou −1 (face), avec P(pile) = P(face) = 1/2.

E(X) = (−1) × 1/2 + 3 × 1/2 = (−0,5) + 1,5 = 1.

L’espérance est positive (1 €), le jeu est donc globalement favorable au joueur.

Exercice 4 – Variance et écart type

Une variable aléatoire X a pour loi :

1. Calculer E(X).
2. Calculer E(X²).
3. En déduire V(X) et σ(X).

Correction

1. E(X) = 0 × 0,2 + 1 × 0,5 + 2 × 0,3 = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1.

2. E(X²) = 0² × 0,2 + 1² × 0,5 + 2² × 0,3 = 0 + 0,5 + 4 × 0,3 = 0,5 + 1,2 = 1,7.

3. V(X) = E(X²) − (E(X))² = 1,7 − (1,1)² = 1,7 − 1,21 = 0,49.
σ(X) = √0,49 = 0,7.

Exercice 5 – Modélisation médicale (niveau avancé)

Dans un service, on modélise le nombre X de patients admis pour un certain type d’urgence pendant une nuit par la loi suivante :

1. Vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité.
2. Calculer E(X) et interpréter le résultat.
3. Calculer l’écart type σ(X) (au centième près).

Correction

1. Somme des probabilités : 0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1. C’est bien une loi de probabilité.

2. E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,4 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 = 0 + 0,4 + 0,6 + 0,6 = 1,6.

En moyenne, on peut s’attendre à environ 1,6 patient par nuit pour ce type d’urgence.

3. E(X²) = 0² × 0,1 + 1² × 0,4 + 2² × 0,3 + 3² × 0,2 = 0 + 0,4 + 4 × 0,3 + 9 × 0,2 = 0,4 + 1,2 + 1,8 = 3,4.

V(X) = 3,4 − (1,6)² = 3,4 − 2,56 = 0,84.
σ(X) ≈ √0,84 ≈ 0,92 (au centième près).